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1問を3分野からアプローチ[2次数学の数学思考力を鍛える]

数学(大学入試問題)

問題

難しい問題ではありません。基本的な問題です。

学校、塾の授業では、分野ごとに学習をしていきます。

もちろん分野ごとにしっかりと知識を定着させ、問題が解けるように演習していかなければなりません。

 

しかし、大学の2次試験(数学)において、「〇〇の分野の問題だ!」と決めつけてしまうことは危険!

見た目上では平面幾何の問題に見えても、ベクトルを利用することで簡単に処理できるなど、様々な分野の知識を活用することでより良い解答が作れます。

また、解法が思いつかないときに、違うアプローチの仕方を練習しておけば、完答はできずとも、部分点を取りに行くことはできます。

さらに、これは知り合いの某有名大学教授とお話をさせてもらった時に、「可能な限り全分野から出題をしたい、分野を限定したくない」とおっしゃっていました。

もちろん大学によって傾向はありますが、様々なアプローチの方法を勉強し、他の受験生と差をつけましょう!

もしよかったら、2次試験で差がつく。平面図形の3つのアプローチ!(基本編)も読んでみてください。

それでは、この問題を使って、3分野からアプローチした解法を紹介します。

解法1 図形と方程式(数学Ⅱ)

$$2x+y=k$$とおいて直線と円が共有点を持つ条件を考える

解法2 媒介変数の利用 → 三角関数の合成

媒介変数って何??と思った人は、参考として

媒介変数表示とは?
簡単な例題を用いて、媒介変数(パラメータ)表示が何かを理解し、しっかり使えるようにする。

を読んでみてください。

「媒介変数(パラメータ)」という言葉自体あまり学校の授業の中では登場していないかもしれません。しかし入試問題では、以下の発想を用いた問題はよく出題されています。これを機に勉強しましょう。

最初の2行が媒介変数の設定。 👈この発想が出るかが勝負の分かれ目!

後半は三角関数の合成を利用しました。

ちなみに後半の三角関数の合成から範囲(最大最小)を求める流れは、教科書例題にものっているほど有名な流れですね!不安がある方は教科書例題を復習しましょう。センター試験にも類題が出題されています。

解法3 ベクトルの内積の利用

この問題を見てベクトルという発想を持つ人は多くないでしょう。

このような発想があることを経験してください。

この解法3の発想を利用して、コーシー・シュワルツの不等式が証明できます。

ですから、コーシー・シュワルツの不等式を利用してこの問題をアプローチしてもOKです。

まとめ

いくつ解法が浮かびましたか?

何にせよまず大切なことはこの問題がしっかりと解けること。

それがクリアできた人は、他にも違うアプローチはできないかと考える癖をつけてください。

 

基本的な問題で様々なアプローチができなければ、本番の難しい問題で手が止まった時に、次の1手は絶対に思いつきません。

普段の練習でできないことは本番では絶対にできません。

基礎基本を大切にし、その中でよりレベルアップできる勉強を!

志望校合格に1歩ずつ近づいていきましょう!

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