【2023九州大学・理系・第５問】
\(xy\) 平面上の曲線 \(C\) を，媒介変数 \(t\) を用いて次のように定める．
\(x=t+2\sin^2 t\) ，\(y=t+\sin t\) ( \(0<t<\pi\) )
以下の問いに答えよ．
(１) 曲線 \(C\) に接する直線のうち \(y\) 軸と平行なものがいくつあるか求めよ．
(２) 曲線 \(C\) のうち \(y≦x\) の領域にある部分と直線 \(y=x\) で囲まれた図形の面積を求めよ．
解答・解説
(１) 曲線 \(C\) に接する直線のうち \(y\) 軸と平行なものがいくつあるか
\(\displaystyle\frac{dx}{dt}=1+4\sin t\cos t=1+2\sin 2t\)
\(\displaystyle\frac{dy}{dt}=1+\cos t\)
\(0<t<\pi\) より \(1+\cos t>0\) より
\(\displaystyle\frac{dx}{dy}=\displaystyle\frac{1+2\sin 2t}{1+\cos t}\)
曲線 \(C\) に接する直線のうち \(y\) 軸と平行になるのは
\(\displaystyle\frac{dx}{dy}=0\) \(\iff\) \(\displaystyle\frac{1+2\sin 2t}{1+\cos t}=0\)
\(\iff\) \(\sin 2t=-\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(0<t<\pi\) より \(0<2t<2\pi\) なので
\(2t=\displaystyle\frac{7\pi}{6},\displaystyle\frac{11\pi}{6}\)
よって，\(t=\displaystyle\frac{7\pi}{12},\displaystyle\frac{11\pi}{12}\)
\(t\) の値が \(2\) つだからと言って，接線が \(2\) 本あるというのは危険！！
\(t=\displaystyle\frac{7\pi}{12},\displaystyle\frac{11\pi}{12}\) のとき，接線が一致する可能性もあるため，それぞれ代入して確認を行うように！
\(t=\displaystyle\frac{7\pi}{12}\) のとき
\(x=\displaystyle\frac{7\pi}{12}+2\sin^2 \displaystyle\frac{7\pi}{12}=\displaystyle\frac{7\pi}{12}+1-2\cos \displaystyle\frac{7\pi}{6}=\displaystyle\frac{7\pi}{12}+1+\sqrt{3}\)
\(t=\displaystyle\frac{11\pi}{12}\) のとき
\(x=\displaystyle\frac{11\pi}{12}+2\sin^2 \displaystyle\frac{11\pi}{12}=\displaystyle\frac{11\pi}{12}+1-2\cos \displaystyle\frac{11\pi}{6}=\displaystyle\frac{11\pi}{12}+1-\sqrt{3}\)
となり，\(t=\displaystyle\frac{7\pi}{12},\displaystyle\frac{11\pi}{12}\) における \(y\) 軸に平行な接線は一致しない．したがって，求める接線は \(2\) 本ある．
(２) 曲線 \(C\) のうち \(y≦x\) の領域にある部分と直線 \(y=x\) で囲まれた図形の面積
| \(t\) | \(( 0 )\) | ・・・ | \(\displaystyle\frac{7\pi}{12}\) | ・・・ | \(\displaystyle\frac{11\pi}{12}\) | ・・・ | \(( \pi )\) |
| \(\displaystyle\frac{dx}{dt}\) | ＋ | \(0\) | ー | \(0\) | ＋ | ||
| \(\displaystyle\frac{dy}{dt}\) | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ＋ | ||
| \((x,y)\) | ↗️ | ↖️ | ↗️ |
また，\(t+\sin t≦t+2\sin^2 t\) のとき
\(2\sin t\left(\sin t-\displaystyle\frac{1}{2}\right)≧0\)
\(\iff\) \(\sin t≦0,\displaystyle\frac{1}{2}≦\sin t\)
\(0<t<\pi\) より \(\displaystyle\frac{\pi}{6}≦t≦\displaystyle\frac{5\pi}{6}\)
したがって，求める面積は右図の斜線部分．
右図のように \(y_{1}\)，\(y_{2}\) をとる．
求める斜線部分の面積は
\(\displaystyle\int^{y_{2}}_{y_{1}}\left\{(t+2\sin^2 t)-(t+\sin t)\right\} dy\)
\(=\displaystyle\int^{\frac{5\pi}{6}}_{\frac{\pi}{6}}(2\sin^2 t-\sin t) \displaystyle\frac{dy}{dt}dt\)
\(=\displaystyle\int^{\frac{5\pi}{6}}_{\frac{\pi}{6}}(2\sin^2 t-\sin t)(1+\cos t)dt\)
\(=\displaystyle\int^{\frac{5\pi}{6}}_{\frac{\pi}{6}}(2\sin^2t+2\sin^2t\cos t-\sin t-\sin t\cos t)dt\)
\(=\displaystyle\int^{\frac{5\pi}{6}}_{\frac{\pi}{6}}(1-\cos 2t+2\sin^2t\cos t-\sin t-\sin t\cos t)dt\)
\(=\Bigl[t-\displaystyle\frac{1}{2}\sin 2t+\displaystyle\frac{2}{3}\sin^3t+\cos t-\displaystyle\frac{1}{2}\sin^2 t\Bigr]^{\frac{5\pi}{6}}_{\frac{\pi}{6}}\)
\(=\displaystyle\frac{2\pi}{3}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)
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