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【09大阪教育大学】数学Ⅱの頻出テーマ:不等式の証明・相加相乗平均を利用した発展・応用問題

数学(大学入試問題)

【2009大阪教育大学】

(1) \(s\) , \(t\) は実数で,\(s>0\) と \(st≧4\) を満たすとする.

このとき,\(s+t≧4\) が成り立つことを示せ.

(2) \(x\) , \(y\) は実数で,\(x>0\) と \(x^8(y-x^2)≧4\) を満たすとする.

このとき,\(x(x+y)≧4\) が成り立つことを示せ.

考え方:不等式の証明について

不等式の証明の解き方(まとめ)

【1】差をとる

【2】グラフの利用

【3】最小値をとらえる

【4】有名不等式(相加相乗平均など)の利用

【5】その他(凸関数の利用など)

【1】〜【5】の詳細については、【数学Ⅱ】不等式の証明(まとめ)解法5つ を参考にしてください。

相加平均・相乗平均の関係

【相加平均・相乗平均の関係】

\(A≧0 , B≧0\) のとき

\(A+B≧2\sqrt{AB}\)

等号成立は、\(A=B\) のとき

「相加平均・相乗平均の関係」受験数学において頻出であり、最重要テーマの 1 つです.そして「相加平均・相乗平均の関係」に関しては、分野を問わず出題されることが多いため、ただ公式を覚えているだけでは使い物になりません

「いつ・どのタイミングで使うのか」が非常に重要になります.

また,基本的な問題で相加平均・相乗平均の確認をしたい場合は、

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(基本)

を確認してください.

相加平均・相乗平均を使うタイミング

次の2つの形を見たら相加平均・相乗平均の関係を疑え!

1.逆数の和の形

👉 ルートの中で約分され、文字が消える!

2.和と積の形

👉\(和≧2\sqrt{積}\)

※相加平均・相乗平均の関係は 0 以上の数でしか使用できないため、「0 以上の数になるための条件」が必ず存在する

※相加平均・相乗平均の関係を使用した場合、必ず等号成立を確認するように!

☞なぜに等号成立を言う必要があるのか?

少し難しい内容になりますが、数学的に非常に重要なお話しになります。

最大値とは?等号成立の必要性について」に簡単にまとめていますので、確認を!

具体的な例題を用いたより詳細の説明については

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(発展)

をご確認ください。

解答(1)

(1) \(s\) , \(t\) は実数で,\(s>0\) と \(st≧4\) を満たすとする.

このとき,\(s+t≧4\) が成り立つことを示せ.

和( \(s+t\) )と積( \(st\) ) に関する不等式の証明ですから,相加平均・相乗平均の関係を利用したい!と思えるようになりましょう!

\(s\) , \(t\) は実数で,\(s>0\) と \(st≧4\) であるから,\(t>0\) であり,相加・相乗平均の関係から

\(s+t≧2\sqrt{st}≧2\sqrt{4}=4\)

よって,\(s+t≧4\)

等号成立は,\(s+t=4\) かつ \(s=t\) \(\iff\) \(s=t=2\) のとき成立する.

解答(2)

(2) \(x\) , \(y\) は実数で,\(x>0\) と \(x^8(y-x^2)≧4\) を満たすとする.

このとき,\(x(x+y)≧4\) が成り立つことを示せ.

\(x^8(y-x^2)≧4\) より, \(x^5\cdot x^3(y-x^2)≧4\)・・・①

\(x\) , \(y\) は実数で,\(x>0\) であるから,\(x^3>0\) , \(x^3(y-x^2)>0\) なので,相加・相乗平均の関係から

\(x^5+x^3(y-x^2)≧2\sqrt{x^5\cdot x^3(y-x^2)}\)

①より,\(x^5+x^3(y-x^2)≧2\sqrt{4}=4\) \(\iff\) \(x^3y≧4\) ・・・②

等号成立は,\(x^5=x^3(y-x^2)=2\)

\(\iff\) \(x=2^{\frac{1}{5}}\) , \(y=2^{\frac{7}{5}}\) のとき

次に,\(x^3y=x^2\cdot xy\) であり,\(x^2>0\) , \(xy>0\) であるから,相加・相乗平均の関係より,

\(x^2+xy≧2\sqrt{x^3y}\)

②より,\(x^2+xy≧2\sqrt{4}≧4\)

したがって,\(x(x+y)≧4\)

\(x(x+y)≧4\) ・・・③ において等号成立は,

\(x^2=xy=2\) のときであるが,②の等号成立の \(x^5=x^3(y-x^2)=2\) と一致しないため,厳密に言えば③の等号は成立しない.

(2)の問題はなかなか難しい・・・。

この問題を見て相加相乗平均が思いついた人は優秀!

それではなぜ気がつけるのか??

今回は(1)があるから気がつける問題。

(1)→(2)→(3)→・・・と問題がつながっていく,次のヒントになっていることは非常に多い!手が止まったら1つ前で何をやったのか、1つ後で何を聞かれているのかをチェックする習慣を!

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