スポンサーリンク

【2012京都大学】数列の極限|公比rの値による場合分け

京都大学

【2012京都大学】

\(a\) が正の実数のとき \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}\) を求めよ.

数列の \(\left\{r^{n}\right\}\) の極限について

  • \(-1<r<1\) のとき,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} r^n=0\)
  • \(r=1\) のとき,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} r^n=1\)
  • \(r>1\) のとき,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} r^n=\infty\) (発散)
  • \(r=-1\) のとき,発散(振動)
  • \(r<-1\) のとき,発散(振動)

このことから,数列 \(\left\{r^n\right\}\) が収束する条件は,\(-1<r≦1\)

解答・解説

【2012京都大学】

\(a\) が正の実数のとき \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}\) を求めよ.

( ⅰ ) \(0<a<1\) のとき

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)=1\) , \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{1}{n}=0\) より

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}=1^0=1\)

( ⅱ ) \(a=1\) のとき

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}2^{\frac{1}{n}}=2^0=1\)

( ⅲ ) \(a>1\) のとき

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left\{a^n\left(\displaystyle\frac{1}{a^n}+1\right)\right\}^{\frac{1}{n}}\)

\(=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a\left\{1+\left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)^n\right\}^{\frac{1}{n}}\) ・・・①

ここで,\(a>1\) より,\(0<\displaystyle\frac{1}{a}<1\) であるから,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)^n=0\)

よって,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{1+\left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)^n\right\}^{\frac{1}{n}}=1^0=1\) であるから①より

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}=a\times 1=a\)

したがって,

・\(0<a≦1\) のとき, \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}=1\)

・\(a>1\) のとき, \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}=a\)

コメント

タイトルとURLをコピーしました