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【2021共通テスト】数学ⅠA:第5問(図形の性質)|角の二等分線,内接円,外接円,方べきの定理

数学(大学入試問題)

【2021数学ⅠA】第5問(図形の性質)

問題と解答・解説《ア〜キ》

解答・解説《ア〜キ》

線分 \(AD\) は \(\angle BAC\) の二等分線であるから

\(BD : DC = AD : AC = 3 : 5\) より

\(BD=\displaystyle\frac{3}{3+5}\times 4=\)\(\displaystyle\frac{3}{2}\) ・・・《アイ》

また,\(AC^2=AB^2+BC^2\) より \(\triangle ABC\) は \(\angle B=90°\) の直角三角形

よって三平方の定理より

\(AD^2=AB^2+BD^2=3^2+\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{45}{4}\)

したがって,\(AD=\)\(\displaystyle\frac{3\sqrt{5}}{2}\) ・・・《ウ〜オ》

\(CD=BC-BD=4-\displaystyle\frac{3}{2}=\displaystyle\frac{5}{2}\) であり,

方べきの定理より

\(AD\times DE=BD\times DC\)

\(\displaystyle\frac{3\sqrt{5}}{2}\times DE=\displaystyle\frac{3}{2}\times \displaystyle\frac{5}{2}\)

よって \(DE=\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}\)

したがって,\(AE=AD+DE=\displaystyle\frac{3\sqrt{5}}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2}=\)\(2\sqrt{5}\) ・・・《カキ》

問題と解答・解説《ク〜サ》

解答・解説《ク〜サ》

右図のように,円 \(P\) と辺 \(AB\) の接点を \(H\) とおく.

\(\triangle AHP\text{∽}\triangle ABD\) より

\(AP : AD = HP : BD\) であるから,

\(AP : \displaystyle\frac{3\sqrt{5}}{2} = r : \displaystyle\frac{3}{2}\)

よって,\(AP=\sqrt{5}r\) ・・・《ク》

また円 \(P\) と円 \(O\) の接点 \(F\) と,点 \(P\) を結ぶ直線 \(FP\) は \(2\) 円 \(P\) , \(O\) の中心どうしを結んだ直線であるから,\(FG\) は円 \(O\) の直径 \(5\) となる.

よって,\(PG=FG-FP=\)\(5-r\) ・・・《ケ》 

したがって方べきの定理より,

\(AP\times PE=FP\times PG\)

\(\sqrt{5}r(2\sqrt{5}-\sqrt{5}r)=r(5-r)\)

\(r\not=0\) であるから

\(\sqrt{5}(2\sqrt{5}-\sqrt{5}r)=5-r\)

これを解くと,\(r=\displaystyle\frac{5}{4}\) ・・・《コサ》

問題と解答・解説《シ〜タ》

解答・解説《シ〜タ》

内接円の半径を \(q\) とすると,

\(\triangle ABC=\displaystyle\frac{1}{2}q(AB+BC+CA)\) より

\(\displaystyle\frac{1}{2}\times 3\times 4=\displaystyle\frac{1}{2}q(3+4+5)\)

よって,\(q=1\) ・・・《シ》

内心 \(Q\) は直線 \(AD\) 上にあるから,円 \(Q\) と辺 \(AB\) の接点を \(I\) とすると,

\(\triangle AIQ\text{∽}\triangle ABD\) より

\(AQ : AD = QI : DB\) であるから,

\(AQ : \displaystyle\frac{3\sqrt{5}}{2} = 1 : \displaystyle\frac{3}{2}\)

よって \(AQ=\sqrt{5}\) ・・・《ス》

また,\(\triangle APH\) で三平方の定理から \(AH=\displaystyle\frac{5}{2}\) ・・・《セソ》 

このとき,\(AH\times AB=\displaystyle\frac{5}{2}\times 3=\displaystyle\frac{15}{2}\)

\(AQ\times AD=\sqrt{5}\times \displaystyle\frac{3\sqrt{5}}{2}=\displaystyle\frac{15}{2}\) より

\(AH\times AB=AQ\times AD\) が成り立つから,方べきの定理の逆より

\(4\) 点 \(H\) , \(B\) , \(D\) , \(Q\) は同一円周上にある.

よって点 \(H\) は \(3\) 点 \(B\) , \(D\) , \(Q\) を通る円の周上にあるので,( a ) は正しい.

次に,\(AH\times AB\not=AQ\times AE\) であるから,\(4\) 点 \(H\) , \(B\) , \(E\) , \(Q\) は同一円周上にない.よって,点 \(H\) は \(3\) 点 \(B\) , \(E\) , \(Q\) を通る円の周上にないので,( b ) は誤り.

したがって,① ・・・《タ》

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2021年度大学入学共通テスト:数学ⅠA の第4問・整数問題の解説と解答。 1次不定方程式を格子点を用いた時短裏技で解く。平成30年度の試行調査の問題と同様の形式。

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