【2023東京大学・理科・第２問】
黒玉 3 個，赤玉 4 個，白玉 5 個が入っている袋から玉を 1 個ずつ取り出し，取り出した玉を順に横一列に 12 個全て並べる．ただし，袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする．
(１) どの赤玉も隣り合わない確率 p を求めよ．
(２) どの赤玉も隣り合わないとき，どの黒玉も隣り合わない条件付き確率 q を求めよ．
解答・解説
(１) どの赤玉も隣り合わない確率
黒玉 3 個，赤玉 4 個，白玉 5 個が入っている袋から玉を 1 個ずつ取り出し，取り出した玉を順に横一列に 12 個全て並べる順列の総数は
\displaystyle\frac{12!}{3! 4! 5!}=12\times 11\times 10\times 3\times 7(=27720) 通り
このうち，どの赤玉も隣り合わない順列は
まず赤玉以外の 8 個の玉を並べ，それらの間または両端の 9 ヶ所から 4 ヶ所選んで赤玉を並べればよいので，
\displaystyle\frac{8!}{3!5!}\times _{9}C_{4}=8\times 7\times 9\times 2\times 7(=7056) 通り
よって
p=\displaystyle\frac{8\times 7\times 9\times 2\times 7}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}=\displaystyle\frac{14}{55}
(２) どの赤玉も隣り合わないとき，どの黒玉も隣り合わない条件付き確率
どの赤玉も隣り合わない事象を A，どの黒玉も隣り合わない事象を B とすると
q=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(A)} ・・・①
(１)より P(A)=p=\displaystyle\frac{8\times 7\times 9\times 2\times 7}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}
次に P(A\cap B) について
どの赤玉も隣り合わない かつ どの黒玉も隣り合わない確率は
まず赤玉以外の 8 個の並べ方について，次の( ⅰ )，( ⅱ )，( ⅲ )のいずれかの場合で考える．
( ⅰ ) 白玉を先に 5 個並べ，これらの玉の間または両端の 6 ヶ所から 3 ヶ所選んで黒玉を並べ，8 個の玉の間または両端の 9 ヶ所から 4 ヶ所選んで赤玉を並べるとき
_{6}C_{3}\times _{9}C_{4}=2520 通り
( ⅱ ) 黒玉 3 個をひと塊と考え，これと 5 個の白玉をまず並べる．そして赤玉 4 個のうち 2 個は黒玉の間に並べ，残り 2 個の赤玉をそれ以外の玉の間または両端の 7 ヶ所から 2 ヶ所選んで並べるとき
6\times _{7}C_{2}=126 通り
( ⅲ ) 赤玉以外の 8 個の玉のうち，黒玉がちょうど 2 個隣り合い，残り 1 個の黒玉はそれらと隣り合わないとき
赤玉 4 個のうち 1 個は黒玉の間に並び，それ以外の玉の間または両端の 8 ヶ所から 3 ヶ所選んで残りの赤玉を並べればよい
\left(_{8}C_{3}-_{6}C_{1}-_{6}C_{3}\right)\times _{8}C_{3}=1680 通り
したがって( ⅰ )〜( ⅲ )より
P(A\cap B)=\displaystyle\frac{2520+126+1680}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}=\displaystyle\frac{4326}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}
以上から求める条件付き確率は
q=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4326}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}}{\displaystyle\frac{8\times 7\times 9\times 2\times 7}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}}=\displaystyle\frac{103}{168}
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