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【2023東京大学・理科・第2問】同じものを含む順列、条件付き確率

場合の数・確率

【2023東京大学・理科・第2問】

黒玉 3 個,赤玉 4 個,白玉 5 個が入っている袋から玉を 1 個ずつ取り出し,取り出した玉を順に横一列に 12 個全て並べる.ただし,袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする.

(1) どの赤玉も隣り合わない確率 p を求めよ.

(2) どの赤玉も隣り合わないとき,どの黒玉も隣り合わない条件付き確率 q を求めよ.

解答・解説

(1) どの赤玉も隣り合わない確率

黒玉 3 個,赤玉 4 個,白玉 5 個が入っている袋から玉を 1 個ずつ取り出し,取り出した玉を順に横一列に 12 個全て並べる順列の総数は

\displaystyle\frac{12!}{3! 4! 5!}=12\times 11\times 10\times 3\times 7(=27720) 通り

このうち,どの赤玉も隣り合わない順列は

まず赤玉以外の 8 個の玉を並べ,それらの間または両端の 9 ヶ所から 4 ヶ所選んで赤玉を並べればよいので,

\displaystyle\frac{8!}{3!5!}\times _{9}C_{4}=8\times 7\times 9\times 2\times 7(=7056) 通り

よって

p=\displaystyle\frac{8\times 7\times 9\times 2\times 7}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}=\displaystyle\frac{14}{55}

(2) どの赤玉も隣り合わないとき,どの黒玉も隣り合わない条件付き確率

どの赤玉も隣り合わない事象を A,どの黒玉も隣り合わない事象を B とすると

q=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(A)} ・・・①

(1)より P(A)=p=\displaystyle\frac{8\times 7\times 9\times 2\times 7}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}

次に P(A\cap B) について

どの赤玉も隣り合わない かつ どの黒玉も隣り合わない確率は

まず赤玉以外の 8 個の並べ方について,次の( ⅰ ),( ⅱ ),( ⅲ )のいずれかの場合で考える.

 

( ⅰ ) 白玉を先に 5 個並べ,これらの玉の間または両端の 6 ヶ所から 3 ヶ所選んで黒玉を並べ,8 個の玉の間または両端の 9 ヶ所から 4 ヶ所選んで赤玉を並べるとき

_{6}C_{3}\times _{9}C_{4}=2520 通り

 

( ⅱ ) 黒玉 3 個をひと塊と考え,これと 5 個の白玉をまず並べる.そして赤玉 4 個のうち 2 個は黒玉の間に並べ,残り 2 個の赤玉をそれ以外の玉の間または両端の 7 ヶ所から 2 ヶ所選んで並べるとき

6\times _{7}C_{2}=126 通り

 

( ⅲ ) 赤玉以外の 8 個の玉のうち,黒玉がちょうど 2 個隣り合い,残り 1 個の黒玉はそれらと隣り合わないとき

赤玉 4 個のうち 1 個は黒玉の間に並び,それ以外の玉の間または両端の 8 ヶ所から 3 ヶ所選んで残りの赤玉を並べればよい

\left(_{8}C_{3}-_{6}C_{1}-_{6}C_{3}\right)\times _{8}C_{3}=1680 通り

 

したがって( ⅰ )〜( ⅲ )より

P(A\cap B)=\displaystyle\frac{2520+126+1680}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}=\displaystyle\frac{4326}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}

以上から求める条件付き確率は

q=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4326}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}}{\displaystyle\frac{8\times 7\times 9\times 2\times 7}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}}=\displaystyle\frac{103}{168}

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