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【17藤田保健衛生大・医】5乗根・対称式

数学(大学入試問題)

\(\alpha=\sqrt[5]{\displaystyle\frac{5\sqrt{5}+11}{2}}\)、\(\beta=\sqrt[5]{\displaystyle\frac{5\sqrt{5}-11}{2}}\) のとき、次の問に答えよ.

(1) \(\alpha\beta\) を求めよ.

(2) \(\alpha-\beta-1\) は正か、負か、0 かを判定せよ.

考え方・解答

(1)解答

(1)はそのまま計算!

(1) \(\alpha\beta=\sqrt[5]{\displaystyle\frac{5\sqrt{5}+11}{2}}\times\sqrt[5]{\displaystyle\frac{5\sqrt{5}-11}{2}}=\sqrt[5]{\displaystyle\frac{125-121}{4}}=1\)

 

(2)考え方

・\({\alpha}^5\) や \({\beta}^5\) は簡単に計算できる!

→ \({\alpha}^5+{\beta}^5\) や  \({\alpha}^5-{\beta}^5\) の形を利用したい

→ 和の形

※ \({\alpha}^5-{\beta}^5={\alpha}^5+(-\beta)^5\)

・\(\alpha\beta\) →積の形

 

和と積の形を見たら

和と積の形を見たら、次の3つを疑え!

  1. 対称式
  2. 解と係数の関係
  3. 相加平均・相乗平均の関係

※ 対称式とは、変数を入れ替えても変わらない多項式のこと.

 

本問では、5 乗に関する対称式を扱いたい

5 乗の対称式

\((x^2+y^2)( x^3+y^3)= x^5+x^{2}y^{3}+x^{3}y^{2}+y^5\) より

\(x^5+y^5=(x^2+y^2)( x^3+y^3)-x^{2}y^{2}(x+y)\)

(2)解答

\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\)

\(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\) より

\(x^5+y^5=\left\{(x+y)^{2}-2xy\right\}\left\{(x+y)^{3}-3xy(x+y)\right\}-(xy)^{2} (x+y)\) ・・・ ①

 

①に \(x=\alpha\)、\(y=-\beta\) を代入すると

\({\alpha}^5-{\beta} ^5=\left\{(\alpha-\beta)^2+2\alpha\beta \right\}\left\{(\alpha-\beta)^3+3\alpha \beta (\alpha-\beta)\right\}-(\alpha \beta)^{2} (\alpha-\beta)\) ・・・ ②

 

ここで \(\alpha-\beta=t \)  \((t>0)\) とおくと、

\(\alpha^5-\beta^5=11\)、\(\alpha\beta=1\) より

②は

\(11=(t^2+2)(t^3+3t)-t\)

\(t^5+5t^3+5t-11=0\)

\(f(t)= t^5+5t^3+5t-11\) とおくと、

\(f(1)=0\) ・・・③

また、

\(f^{\prime}(t)=5t^4+15t^2+5>0\)

つまり、\(y=f(t)\) は単調増加なグラフ ・・・④

 

③、④より、\(f(t)=0\) となる \(t>0\) は 1 つだけで、それは \(t=1\)

したがって、

\(\alpha-\beta-1=0\)

(2)別解[5乗根を外す]

そもそも 5 乗根は外れないのか??

\(\alpha=\sqrt[5]{\displaystyle\frac{5\sqrt{5}+11}{2}}=\sqrt[5]{\displaystyle\frac{80\sqrt{5}+176}{32}}=\displaystyle\frac{\sqrt[5]{80\sqrt{5}+176}}{2}\)

\(80\sqrt{5}+176\) が何かの 5 乗になれば

5 乗根は外れる!

5乗されるので、あっという間に大きな数になるから、小さな数であることが予想されるね

試しに \((\sqrt{5}+1)^5\) を展開して式をまとめてみると・・・・

\((\sqrt{5}+1)^5=\cdots =80\sqrt{5}+176\) !!

よって、

\(\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)、\(\beta=\displaystyle\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)

したがって、

\(\alpha-\beta-1=\displaystyle\frac{\sqrt{5}+1}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1=0\)

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