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【2023東京大学・理科・第2問】同じものを含む順列、条件付き確率

場合の数・確率

【2023東京大学・理科・第2問】

黒玉 \(3\) 個,赤玉 \(4\) 個,白玉 \(5\) 個が入っている袋から玉を \(1\) 個ずつ取り出し,取り出した玉を順に横一列に \(12\) 個全て並べる.ただし,袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする.

(1) どの赤玉も隣り合わない確率 \(p\) を求めよ.

(2) どの赤玉も隣り合わないとき,どの黒玉も隣り合わない条件付き確率 \(q\) を求めよ.

解答・解説

(1) どの赤玉も隣り合わない確率

黒玉 \(3\) 個,赤玉 \(4\) 個,白玉 \(5\) 個が入っている袋から玉を \(1\) 個ずつ取り出し,取り出した玉を順に横一列に \(12\) 個全て並べる順列の総数は

\(\displaystyle\frac{12!}{3! 4! 5!}=12\times 11\times 10\times 3\times 7\)(\(=27720\)) 通り

このうち,どの赤玉も隣り合わない順列は

まず赤玉以外の \(8\) 個の玉を並べ,それらの間または両端の \(9\) ヶ所から \(4\) ヶ所選んで赤玉を並べればよいので,

\(\displaystyle\frac{8!}{3!5!}\times _{9}C_{4}=8\times 7\times 9\times 2\times 7\)(\(=7056\)) 通り

よって

\(p=\displaystyle\frac{8\times 7\times 9\times 2\times 7}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}=\displaystyle\frac{14}{55}\)

(2) どの赤玉も隣り合わないとき,どの黒玉も隣り合わない条件付き確率

どの赤玉も隣り合わない事象を \(A\),どの黒玉も隣り合わない事象を \(B\) とすると

\(q=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\) ・・・①

(1)より \(P(A)=p=\displaystyle\frac{8\times 7\times 9\times 2\times 7}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}\)

次に \(P(A\cap B)\) について

どの赤玉も隣り合わない かつ どの黒玉も隣り合わない確率は

まず赤玉以外の \(8\) 個の並べ方について,次の( ⅰ ),( ⅱ ),( ⅲ )のいずれかの場合で考える.

 

( ⅰ ) 白玉を先に \(5\) 個並べ,これらの玉の間または両端の \(6\) ヶ所から \(3\) ヶ所選んで黒玉を並べ,\(8\) 個の玉の間または両端の \(9\) ヶ所から \(4\) ヶ所選んで赤玉を並べるとき

\(_{6}C_{3}\times _{9}C_{4}=2520\) 通り

 

( ⅱ ) 黒玉 \(3\) 個をひと塊と考え,これと \(5\) 個の白玉をまず並べる.そして赤玉 \(4\) 個のうち \(2\) 個は黒玉の間に並べ,残り \(2\) 個の赤玉をそれ以外の玉の間または両端の \(7\) ヶ所から \(2\) ヶ所選んで並べるとき

\(6\times _{7}C_{2}=126\) 通り

 

( ⅲ ) 赤玉以外の \(8\) 個の玉のうち,黒玉がちょうど \(2\) 個隣り合い,残り \(1\) 個の黒玉はそれらと隣り合わないとき

赤玉 \(4\) 個のうち \(1\) 個は黒玉の間に並び,それ以外の玉の間または両端の \(8\) ヶ所から \(3\) ヶ所選んで残りの赤玉を並べればよい

\(\left(_{8}C_{3}-_{6}C_{1}-_{6}C_{3}\right)\times _{8}C_{3}=1680\) 通り

 

したがって( ⅰ )〜( ⅲ )より

\(P(A\cap B)=\displaystyle\frac{2520+126+1680}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}=\displaystyle\frac{4326}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}\)

以上から求める条件付き確率は

\(q=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4326}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}}{\displaystyle\frac{8\times 7\times 9\times 2\times 7}{12\times 11\times 10\times 3\times 7}}=\displaystyle\frac{103}{168}\)

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