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係数が左右対称な【相反方程式】の解き方

数学(大学入試問題)

方程式 \(x^4+2x^3-x^2+2x+1=0\) を解け.

相反方程式とは

相反方程式とは、係数が左右対称な方程式のことを言います。

例えば、『 \(x^4+2x^3-x^2+2x+1=0\) 』のような式です。

係数に注目すると、

「 1 , 2 , -1 , 2 , 1 」

となり、左右対称な形になっています。

このような相反方程式については、解法手順が決まっていますので、しっかりとパターンを覚えましょう!

相反方程式の解法手順

・最高次が偶数のとき \(x^{2n}+\cdots=0\)

👉  \(x^n\) で割って、\(t=x+\displaystyle\frac{1}{x}\) と置き換え

・最高次が奇数のとき \(x^{2n+1}+\cdots=0\)

👉 \(x+1\) を因数にもつ

つまり、\(x+1\) と 最高次が偶数の相反方程式に分解できる

例 \(x^5+3x^4+x^3+x^2+3x+1=0\)

(左辺)\(=f(x)\) とおく.

\(f(-1)=0\) より、

\(x^5+3x^4+x^3+x^2+3x+1=(x+1)(x^4+2x^3-x^2+2x+1)\)

よって、

\(x=-1\)、\(x^4+2x^3-x^2+2x+1=0\) となり、

最高次が偶数の相反方程式ができる

→以下の解答は下記

解答

方程式 \(x^4+2x^3-x^2+2x+1=0\) を解け.

\(x^4+2x^3-x^2+2x+1=0\) ・・・①

最高次が偶数の相反方程式!

まず \(x^2\) で両辺を割るために、

\(x\) が 0 でないことを記述しよう!

①に \(x=0\) を代入すると \(1=0\) となり成立しないため、

①は \(x=0\) を解に持たない.

つまり、\(x≠0\)

①を \(x^2(≠0)\) で割ると、

\(x^2+2x-1+\displaystyle\frac{2}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}=0\)

\((x^2+\displaystyle\frac{1}{x^2})+2(x+\displaystyle\frac{1}{x})-1=0\) ・・・②

 

\(x^2+\displaystyle\frac{1}{x^2}=(x+\displaystyle\frac{1}{x})^2-2\) より

②は

\((x+\displaystyle\frac{1}{x})^2+2(x+\displaystyle\frac{1}{x})-3=0\)

 

\(t=x+\displaystyle\frac{1}{x}\) とおくと、

 

\(t^2+2t-3=0\)

\((t+3)(t-1)=0\)

\(t= -3 , 1\)

 

( ⅰ ) \(t= -3\) のとき

\(x+\displaystyle\frac{1}{x}=-3\)

\(x^2+3x+1=0\)

\(x=\displaystyle\frac{-3±\sqrt{5}}{2}\)

 

( ⅱ ) \(t= 1\) のとき

\(x+\displaystyle\frac{1}{x}=1\)

\(x^2-1x+1=0\)

\(x^2-1x+1=\displaystyle (x-\frac{1}{2})^2+\displaystyle\frac{3}{4}>0\) より

実数解を持たない

したがって、\(x=\displaystyle\frac{-3±\sqrt{5}}{2}\)

【発展参考】奇関数の利用

奇関数とは、原点に関して対称なグラフ\((f(-x)=-f(x) を満たす関数)\)

 

\(t=x+\displaystyle\frac{1}{x}=g(x)\) とおくと、

\(g(-x)=-g(x)\) より、\(y=g(x)\) は奇関数となる.

つまり原点に関して対称なグラフとなる.

\(x>0\) のとき、相加平均・相乗平均の関係から

\(t= x+\displaystyle\frac{1}{x}≧2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2\)

よって \(t≧2\)

奇関数(原点に関して対称なグラフ)なので、

\(t≦-2 , 2≦t\)

したがって、上では \(t= -3 , 1\) のそれぞれを場合分けして考えたが、

\(t=1\) は不適であることが分かる

 

【参考】3次以上の方程式の処理について

① そのまま因数分解(因数定理の利用)

② 相反方程式

③ 複 \(n\) 次式 (\(t=x^2\) とおくなど)

 

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