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【漸化式14】分数型(発展)2実数解タイプ|解法パターン|数学B数列

数学(大学入試問題)

【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ.

14.\(a_{1}=0\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{3a_{n}+2}{a_{n}+2}\)

漸化式は完全暗記もの!数学が得意不得意に関わらず,ただただパターンを覚えてなければできるようになりません!

その中でも基本として押さえてほしい13パターンは「」にまとめています。参考にしてください。

ここでは、基礎パターンがしっかりと身についている方に向けて、発展的な漸化式の紹介です。

パターン14.分数型(発展)2実数解タイプ

\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{ra_{n}+s}{pa_{n}+q}\)

👉 \(x=\displaystyle\frac{rx+s}{px+q}\) を満たす \(x\) を \(\alpha\) , \(\beta\) ( \(\alpha<\beta\)) とするとき,

\(b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n}-\alpha}{a_{n}-\beta}\) とおく

※  \(s=0\) のときはパターン6(分数型(基本))を参考に

※ \(\alpha\) , \(\beta\) の大小関係については,\(\alpha>\beta\) でもOK

一般的には誘導形式になることが多い.

※ 重解型は「こちら

解答・解説

14.\(a_{1}=0\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{3a_{n}+2}{a_{n}+2}\)

\(a_{n}\) , \(a_{n+1}\) を \(x\) とおいた方程式を解くことは覚えておこう!

\(x=\displaystyle\frac{3x+2}{x+2}\)

\(x^2-x-2=0\) \(\iff\) \((x+1)(x-2)=0\)

よって \(x = -1 , 2\)

ここまでは記述しなくて良い!

\(b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n}+1}{a_{n}-2}\) ・・・① とおく.

\(b_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-2}\) より

\(b_{n+1}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3a_{n}+2}{a_{n}+2}+1}{\displaystyle\frac{3a_{n}+2}{a_{n}+2}-2}=\displaystyle\frac{4(a_{n}+1)}{a_{n}-2}\)

① より \(b_{n+1}=4b_{n}\)

必ず等比数列の形になります!

等比数列になるという結果は覚えておきましょう!

ここで,\(b_{1}=\displaystyle\frac{a_{1}+1}{a_{1}-2}=-\displaystyle\frac{1}{2}\) であるから,

数列 \(\left\{ b_{n} \right\}\) は初項:\(-\displaystyle\frac{1}{2}\) ,公比:\(4\) の等比数列

よって,\(b_{n}=-\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 4^{n-1}=-2^{2n-3}\) ・・・②

また ① より

\((a_{n}-2)b_{n}=a_{n}+1\) \(\iff\) \((b_{n}-1)a_{n}=2b_{n}+1\)

\(b_{1}=1\) のとき明らかに成立しないため,\(b_{1}≠1\) であるから

\(a_{n}=\displaystyle\frac{2b_{n}+1}{b_{n}-1}\)

この式に ② を代入すると

\(a_{n}=\displaystyle\frac{2\cdot(-2^{2n-3})+1}{-2^{2n-3}-1}\)

したがって,\(a_{n}=\displaystyle\frac{2^{2n-2}-1}{2^{2n-3}+1}\)

これは経験したことがなかったら無理ですね・・・。

一般的には誘導がつくことが多いですが、大まかな流れだけでも知っておきましょう!

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