【2024京都大学・文系・第２問】
\(n\) 個の異なる色を用意する．立方体の各面にいずれかの色を塗る．各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする．辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を \(p_{n}\) とする．次の問いに答えよ．
(１) \(p_{3}\) を求めよ．
(２) \(p_{4}\) を求めよ．
解答・解説
(１) \(3\) 色で立方体を塗る確率
\(3\) 色で立方体を塗るとき，各面にどの色を塗るかは同様に確からしいので，
\(3^6\) 通りある．
辺を共有するどの二つの面にも異なる色を塗るためには，向かい合う \(3\) 組の面がそれぞれ同じ色で塗るときのみである．
これらの塗り方は，\(3!\) 通りであるから，求める確率は
\(p_{3}=\displaystyle\frac{3!}{3^6}=\displaystyle\frac{2}{243}\)
(２) \(4\) 色で立方体を塗る確率
\(4\) 色で立方体を塗るとき，各面にどの色を塗るかは同様に確からしいので，
\(4^6\) 通りある．
辺を共有するどの二つの面にも異なる色を塗るためには，
(ⅰ) \(3\) 色を使う (ⅱ) \(4\) 色を使う
のいずれかの場合がある．
(ⅰ)のとき
まずどの \(3\) 色を選ぶかの \(_{4}C_{3}\) 通り
塗り方は(１)と同様に考え，\(3!\) 通り
よって，\(_{4}C_{3}\times 3!\) 通り．
(ⅱ)のとき
対面の \(2\) ヵ所は同じ色で塗り，残りの面は異なる色で塗ればよい．
ゆえに，どの対面を選ぶかの \(_{3}C_{2}\) 通り
色の塗り方は \(4!\) 通りであるから
\(_{3}C_{2}\times 4!\) 通り
したがって求める確率は，
\(p_{4}=\displaystyle\frac{_{4}C_{3}\times 3!+ _{3}C_{2}\times 4!}{4^6}=\displaystyle\frac{3}{128}\)
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