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【2022大分大学・医学部】数列と極限|平均値の定理、はさみうちの原理の利用

2022年入試問題

【2022大分大学・医学部・第1問】

関数 \(f(x)=\log{\displaystyle\frac{e^x}{x}}\) を用いて,\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=f(a_{n})\) によって数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) が与えられている.ただし対数は自然対数である.以下の問に答えなさい.

(1) \(1≦x≦2\) のとき,\(0≦f(x)-1≦\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)\) が成立することを示しなさい.

(2) \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}\) を求めなさい.

(3) \(b_{1}=a_{1}\),\(b_{n+1}=a_{n+1}b_{n}\) によって与えられる数列 \(\left\{b_{n}\right\}\) の極限を求めなさい.

(1)考え方・解答・解説

(1) \(1≦x≦2\) のとき,\(0≦f(x)-1≦\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)\)

不等式の証明なので,

\(\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)-\left\{f(x)-1\right\}\) を微分して・・・

結果的に \(1≦x≦2\) における最小値が \(0\) 以上になることを示せばいいですか??

不等式の証明の解答の王道はそれで間違いありませんよ!

しかし今回の問題は,

『\(f(x)-1\)』『\(x-1\)』という形にぜひ注目できるようになって欲しい問題です!

 

平均値の定理

関数 \(f(x)\) が閉区間 \([a,b]\) で連続で,

開区間 \((a,b)\) で微分可能ならば,

\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)\) , \(a<c<b\)

を満たす実数 \(c\) が存在する.

平均値の定理は,不等式の証明や極限を求めるときに使用されます!

差がつくテーマになりますので,常に頭の片隅には「平均値の定理」を考える癖を!

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(1)解答・解説

\(0≦f(x)-1≦\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)\) ・・・①

( ⅰ ) \(x=1\) のとき

\(f(1)-1=\log{\displaystyle\frac{e}{1}}-1=0\) ,\(\displaystyle\frac{1}{2}(1-1)=0\) より,①は成り立つ.

( ⅱ ) \(1<x≦2\) のとき

関数 \(f(x)\) は \(1≦x≦2\) で連続で,\(1<x<2\) で微分可能であるから,平均値の定理より

\(\displaystyle\frac{f(x)-1}{x-1}=f^{\prime}(c)\) ・・・②

\(1<c<2\) ・・・③ を満たす \(c\) が存在する.

ここで,\(f(x)=\log{\displaystyle\frac{e^x}{x}}=\log{e^x}-\log{x}=x-\log{x}\) より

\(f^{\prime}(c)=1-\displaystyle\frac{1}{c}\)

③より,\(\displaystyle\frac{1}{2}<\displaystyle\frac{1}{c}<1\) なので

\(0<1-\displaystyle\frac{1}{c}<\displaystyle\frac{1}{2}\)

②より,

\(0<\displaystyle\frac{f(x)-1}{x-1}<\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(x>1\) より \(x-1>0\) なので \(0<f(x)-1<\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)\)

したがって( ⅰ ),( ⅱ )より

\(1≦x≦2\) のとき,\(0≦f(x)-1≦\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)\) が成立

(2)考え方・解答・解説

(2) \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}\)

方針が見えないときは,今までに何を求めてきたのか,どのような条件が与えられているのか(まだ使っていない条件はないか?)など考えるように!

(1)で\(0≦f(x)-1≦\displaystyle\frac{1}{2}(x-1)\)

またまだ使用していない条件として,\(a_{n+1}=f(a_{n})\) がありますね!

とりあえず,\(x=a_{n}\) を代入してみると,はさみうちの原理を利用する有名な問題に帰着します!

 

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(2)解答・解説

数学的帰納法を用いて,自然数 \(n\) に対し,

\(0≦a_{n}-1≦\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) ・・・④

が成り立つことを示す.

( ⅰ ) \(n=1\) のとき

\(a_{1}-1=1\) ,\(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^0=1\) より成立.

( ⅱ ) \(n=k\) のとき④が成り立つと仮定

つまり,\(0≦a_{k}-1≦\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{k-1}\) ・・・⑤

⑤より,\(1≦a_{k}≦1+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{k-1}≦2\) であるから,

(1)の結果に \(n=a_{k}\) を代入すると

\(0≦f(a_{k})-1≦\displaystyle\frac{1}{2}(a_{k}-1)\)

⑤より,\(0≦a_{k+1}-1≦\displaystyle\frac{1}{2}(a_{k}-1)≦\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{k-1}=\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{k}\)

よって,\(0≦a_{k+1}-1≦\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{k}\) となり \(n=k+1\) のときも成り立つ.

( ⅰ ),( ⅱ )より,\(0≦a_{n}-1≦\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) ・・・④ が成立.

ここで,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}=0 \) であるから,はさみうちの原理より

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (a_{n}-1)=0\)

したがって,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=1\)

(3)解答・解説

\(b_{1}=a_{1}\),\(b_{n+1}=a_{n+1}b_{n}\) より

\(b_{n}=a_{n}\cdot a_{n-1}\cdot\cdots a_{2}\cdot a_{1}\) となる.

また,\(f(x)=x-\log{x}\),\(a_{n+1}=f(a_{n})\) より

\(a_{n+1}=a_{n}-\log{a_{n}}\)

\(=(a_{n-1}-\log{a_{n-1}})-\log{a_{n}}\)

\(\cdots\)

\(=a_{1}-(\log{a_{1}}+\cdots+\log{a_{n}})\)

\(=a_{1}-\log{(a_{1}\times \cdots \times a_{n})}\)

よって,\(a_{n+1}=2-\log{b_{n}}\) より

\(b_{n}=e^{2-a_{n+1}}\)

(2)の結果から,

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} b_{n}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} e^{2-a_{n+1}}=e\)

したがって,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} b_{n}=e\)

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