【2002京都大学・第4問】
(1) \(x≧0\) で定義された関数 \(f(x)=\log\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\) について,導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求めよ.
(2) 極方程式 \(r=\theta\) ( \(\theta≧0\) ) で定義される曲線の,\(0≦\theta≦\pi\) の部分の長さを求めよ.
アルキメデスの螺旋の極方程式
極方程式 \(r=\theta\) ( \(0≦\theta≦2\pi\) ) の部分を点をとってグラフをかくと,右図のような赤曲線になる.
とても有名なグラフになりますので,概形だけでも知っておきましょう!
また,極方程式については
「」
をご参考に!
曲線の長さについて
京都大学では、2009年、2021年にも曲線の長さが出題されています!
しっかりと対策を!
媒介変数された曲線の長さ
曲線 \(x=f(t)\) , \(y=g(t)\) ( \(\alpha≦t≦\beta\) ) の長さ \(L\) は
\(L=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}\sqrt{\left(\displaystyle\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dy}{dt}\right)^2} dt=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}\sqrt{\left\{f^{\prime}(t)\right\}^2+\left\{g^{\prime}(t)\right\}^2} dt\)
曲線 \(y=f(x)\) の長さ
曲線 \(y=f(x)\) ( \(a≦x≦b\) ) の長さ \(L\) は
\(L=\displaystyle\int^{b}_{a}\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{dy}{dx}\right)^2} dx=\displaystyle\int^{b}_{a}\sqrt{1+\left\{f^{\prime}(x)\right\}^2} dx\)
解答・解説
(1)
\(f(x)=\log\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\) より
\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\left(1+\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)
(2)
曲線 \(r=\theta\) ( \(\theta≧0\) ) 上の点の座標は,極方程式の定義から
\(x=\theta\cos \theta\) ,\(y=\theta\sin \theta\)
よって,
\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=\cos \theta- \theta\sin \theta\)
\(\displaystyle\frac{dy}{d\theta}=\sin \theta+ \theta\cos \theta\) であるから
\(\left(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dy}{d\theta}\right)^2=(\cos \theta- \theta\sin \theta)^2+(\sin \theta+ \theta\cos \theta)^2=1+ \theta^2\)
ゆえに求める曲線の長さを \(L\) とすると,
\(L=\displaystyle\int^{\pi}_{0}\sqrt{\left(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dy}{d\theta}\right)^2} d\theta\)
\(=\displaystyle\int^{\pi}_{0} \sqrt{1+\theta^2}d \theta\)
\(=\Bigl[ \theta\sqrt{1+ \theta^2}\Bigr]^{\pi}_{0}-\displaystyle\int^{\pi}_{0}\displaystyle\frac{\theta^2}{\sqrt{1+\theta^2}} d \theta\)
\(=\pi\sqrt{1+\pi^2}-\displaystyle\int^{\pi}_{0}\left(\sqrt{1+ \theta^2}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\theta^2}}\right)d\theta\)
\(=\pi\sqrt{1+\pi^2}-L+\Bigl[\log\left(\theta+\sqrt{1+\theta^2}\right)\Bigr]^{\pi}_{0}\)
(1)の結果を利用しました!
したがって,
\(L=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\pi\sqrt{1+\pi^2}+\log\left(\pi\sqrt{1+\pi^2}\right)\right\}\)
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