【基本例題】
(1) \(x>0\) のとき、\(x+\displaystyle\frac{4}{x}\) の最小値を求めよ．
(2) \(t=2^x+2^{-x}\) のとき、\(t\) の範囲を求めよ．
(3) \(a>0 , b>0 , ab=9\) のとき、\(a+b\) の最小値を求めよ．
【入試問題】
(1) \(x>-2\) のとき
\(y=\displaystyle\frac{x^2+3x+3}{x+2}\) の最小値を求めよ．
(2) \(BC=5 , CA=7 , AB=6\) の\(△ABC\) の、辺 \(AB\) 上に点 \(D\) を、辺 \(AC\) 上に点 \(E\) をとり、 \(△ADE\) の面積が \(△ABC\) の面積の \(\displaystyle\frac{1}{3}\) となるようにする．\(DE\) の長さの最小値を求めよ．
はじめに
今回のテーマである「相加平均・相乗平均の関係」は受験数学において頻出であり、最重要テーマの 1 つです．そして「相加平均・相乗平均の関係」に関しては、分野を問わず出題されることが多いため、ただ公式を覚えているだけでは使い物になりません．
「いつ・どのタイミングで使うのか」が非常に重要になります．
考え方、使うタイミングについて下記にまとめていますので、基本的な例題を用いて、しっかりと使いこなせるように！
使い方をしっかりとマスターした上で、【入試問題】にチャレンジしましょう！
【入試問題】の考え方・解答は
相加平均・相乗平均の関係はいつ使う？使うタイミングの見抜き方（発展）
相加平均・相乗平均の関係(証明)
【相加平均・相乗平均の関係】
\(A≧0 , B≧0\) のとき
\(A+B≧2\sqrt{AB}\)
等号成立は、\(A=B\) のとき
《証明》
(左辺)－(右辺)
\(=A+B-2\sqrt{AB}\)
\((\sqrt{A}-\sqrt{B})^2≧0\)
よって(左辺)≧(右辺)
等号成立は、
\((\sqrt{A}-\sqrt{B})^2=0\)
つまり \(A=B\) のとき
相加平均・相乗平均を使うタイミング
次の２つの形を見たら相加平均・相乗平均の関係を疑え！
１．逆数の和の形
👉 ルートの中で約分され、文字が消える！
２．和と積の形
👉\(和≧2\sqrt{積}\)
※相加平均・相乗平均の関係は 0 以上の数でしか使用できないため、「0 以上の数になるための条件」が必ず存在する
※相加平均・相乗平均の関係を使用した場合、必ず等号成立を確認するように！
☞なぜに等号成立を言う必要があるのか？
少し難しい内容になりますが、数学的に非常に重要なお話しになります。
「最大値とは？等号成立の必要性について」に簡単にまとめていますので、確認を！
和と積の形を見たら
※範囲(最大値や最小値を含む)に関する問題の時は、相加平均・相乗平均の関係を使うことが多い．
考え方・解答
(1)の考え方・解答
\(x+\displaystyle\frac{4}{x}\) の式を見て、「逆数の和の形」が見えて欲しい．
(※正確には \(x\) の逆数は \(\displaystyle\frac{1}{x}\) であるが、その辺はざっくりとで)
また、\(x>0\) という情報から、相加平均・相乗平均の関係を使用するのではないかと疑って欲しい．
\(x>0\) より相加平均・相乗平均の関係から
\(x+\displaystyle\frac{4}{x}≧2\sqrt{x\times \displaystyle\frac{4}{x}}=4\)
等号成立は、
\(x=\displaystyle\frac{4}{x}\)
\(x^2=4\)
\(x>0\) より
\(x=2\) のとき、最小値は 4
(2)考え方・解答
\(t=2^x+2^{-x}\) より
\(t=2^x+\displaystyle\frac{1}{2^x}\)
まさに逆数の和の形！！
また、\(2^x>0\) であるから、相加平均・相乗平均の関係を使用するための条件がそろっている
\(2^x>0\) より相加平均・相乗平均の関係から
\(2^x+\displaystyle\frac{1}{2^x}≧2\sqrt{2^x\times \displaystyle\frac{1}{2^x}}=2\)
よって、\(t≧2\)
等号成立は、
\(2^x=\displaystyle\frac{1}{2^x}\)
\((2^x)^2=1\)
\(2^x>0\) より \(2^x=1\)
つまり \(x=0\) のとき
※(2)は指数関数の分野で超有名問題．
極端かもしれませんが、結果を覚えておいても良いレベルで有名問題ですので、しっかりとできるように！
(3) \(a>0 , b>0 , ab=9\) のとき、\(a+b\) の最小値を求めよ．
(3)考え方・解答
\(a≠0\)、\(ab=12\) より、\(b=\displaystyle\frac{12}{a}\) より
\(a+b=a+\displaystyle\frac{9}{a}\) と考え、
逆数の和の形であるから、(1)と同様に考えていくと言う解法でも悪くはない．
しかし、より発展的な問題に対応していくために、以下のように問題が見えるようになって欲しい！
\(ab=9\) という情報から「積の形」
\(a+b\) という形から「和の形」
☞「和と積の形」であるので、相加平均・相乗平均の関係を疑う．
※このような視点を持つことで、結果的に相加平均・相乗平均の関係を使わない問題であったとしても、「対称式」や「解と係数の関係」で処理できないかと、次の考え方に繋がる．
\(a>0 , b>0\) より相加平均・相乗平均の関係から
\(a+b≧2\sqrt{ab}=2\sqrt{9}=6\)
等号成立は
\(a=b\) かつ \(ab=9\) より
\(a=b=3\) のとき、最小値は 6
最後に
ただ解けたからOKではなく、「逆数の和の形」や「和と積の形」、そして「0以上の条件」や「最小値など範囲に関する問題」に注目して相加平均・相乗平均の関係が使えるようになりましょう！
それでは基本編がしっかりとできた方は、【入試問題】にチャレンジ！
【入試問題】
(1) \(x>-2\) のとき
\(y=\displaystyle\frac{x^2+3x+3}{x+2}\) の最小値を求めよ．
(2) \(BC=5 , CA=7 , AB=6\) の\(△ABC\) の、辺 \(AB\) 上に点 \(D\) を、辺 \(AC\) 上に点 \(E\) をとり、 \(△ADE\) の面積が \(△ABC\) の面積の \(\displaystyle\frac{1}{3}\) となるようにする．\(DE\) の長さの最小値を求めよ．
考え方・解答は
相加平均・相乗平均の関係はいつ使う？使うタイミングの見抜き方（発展）
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