【2024神戸大学・理系・第５問】三角関数の置換積分、領域、面積

解答・解説

(１)

\(f(\tan\alpha)=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int^{\tan\alpha}_{-\tan\alpha}\displaystyle\frac{1}{1+u^2}du \)

\(=\displaystyle\int^{\tan\alpha}_{0}\displaystyle\frac{1}{1+u^2}du \)

\(u=\tan\theta\) とおくと

\(u\)：\(0\rightarrow \tan\alpha\) のとき \(\theta\)：\(0\rightarrow \alpha\)

また \(du=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta\) より

\( f(\tan\alpha)=\displaystyle\int^{\alpha}_{0}\displaystyle\frac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \)

\(=\displaystyle\int^{\alpha}_{0} d\theta \)

\(=\Bigl[\theta\Bigr]^{\alpha}_{0}\)

\(=\alpha\)

(２)

\(0≦x≦1\)，\(0≦y≦1\) となる \(x\) ，\(y\) に対し，

\(x=\tan\beta\)　\(\left(0≦\beta≦\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\)

\(x=\tan\gamma\)　\(\left(0≦\gamma≦\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\)

となる \(\beta\) ，\(\gamma\) が存在する．

(１)の結果より

\(f(x)=f(\tan\beta)=\beta\)，\(f(x)=f(\tan\gamma)=\gamma\)

また，\(f(1)=f\left(\tan\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{\pi}{4}\) で

\(f(x)+f(y)≦f(1)\) より

\(0≦\beta+\gamma≦\displaystyle\frac{\pi}{4}\) ・・・①

①より \(\beta=\gamma=\displaystyle\frac{\pi}{4}\) とはならないため

\(\tan\beta\tan\gamma=xy\not=1\)

\(0≦x≦1\)，\(0≦y≦1\) より \(0≦xy<1\) ・・・②

また①より \(0≦\tan(\beta+\gamma)≦1\) であり

\(\tan(\beta+\gamma)=\displaystyle\frac{\tan\beta+\tan\gamma}{1-\tan\beta\tan\gamma}=\displaystyle\frac{x+y}{1-xy}\) より

\(0≦\displaystyle\frac{x+y}{1-xy}≦1\)

②より \(1-xy>0\) であるから

\(0≦x+y≦1-xy\)

\((x+1)y≦-x+1\)

\(x+1>0\) より，\(y≦\displaystyle\frac{-x+1}{x+1}=\displaystyle\frac{2}{x+1}-1\)

したがって右図の斜線部分が不等式 \(0≦x≦1\)，\(0≦y≦1\)，\(f(x)+f(y)≦f(1)\) の表す領域である．ただし，境界線を含む．

また領域の面積を \(S\) とすると

\(S=\displaystyle\int^{1}_{0}\left(\displaystyle\frac{2}{x+1}-1\right)dx\)

\(=\Bigl[2\log{(x+1)}-x\Bigr]^{1}_{0}\)

\(=2\log2-1\)