スポンサーリンク

【難関大学対策】平面の方程式と相加・相乗平均の利用(2021宮崎大学・一部改)

数学(大学入試問題)

【2021 宮崎大学・改】

\(p\)、\(q\) を正の実数とする.点 \(O\) を原点とする座標空間において、\(4\) 点

\(A ( 1 , 1 , 0 )\)、\(B ( 0 , 2 , 0 )\)、\(C ( 0 , 0 , 6 )\)、\(D ( p , q , 1 )\)

をとる.\(3\) 点 \(A\)、\(B\)、\(C\) を含む平面を \(\alpha\) 、\(\triangle{OAD}\) の面積を \(S\) とする.

点 \(D\) が平面上 \(\alpha\) を動くとき、面積 \(S\) の最小値を求めよ.

平面の方程式について

《参考》外積の利用

※ \(\vec{x}\times\vec{y}\) を \(\vec{x}\) と \(\vec{y}\) の外積という

※ 外積は高校数学では学習しません。(教科書に載っていません)そのため,記述式の答案で使用すると、減点される可能性があります。使用する場合は、記述として解答に残さないこと!

 

公式の使い方など、より詳しくは

平面の方程式・点と平面の距離・空間上の直線の方程式・外積の公式まとめ・例題演習
平面の方程式の公式の導き方と使い方。外積を利用した法線ベクトルを利用した解法も紹介。空間ベクトルを利用して、平面の方程式、直線の方程式、点と平面の距離など差がつく分野について公式、使い方の練習。京都大学をはじめ、難関大学では頻出のテーマ。2次試験対策。数学B空間ベクトル

解答・考え方

\(\overrightarrow{AB}=( -1 , 1 , 0 )\)、\(\overrightarrow{AC}=( -1 , -1 , 6 )\) の両方に垂直なベクトルを \(\vec{n}=( a , b , c )\) とおくと、

\(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}=0\) かつ \(\overrightarrow{AC}\cdot\vec{n}=0\) より

\(\begin{cases}-a+b=0\\-a-b+6c=0\end{cases}\)

よって、\(a=b=3c\)

\(c=1\) として、\(\vec{n}=( 3 , 3 , 1 )\) とする.

 

平面 \(\alpha\) の方程式は、

\(3(x-1)+3(y-1)+z-6=0\)

\(3x+3y+z-6=0\) ・・・ ①

点 \(D\) が①上にあるとき

\(3p+3q-5=0\)

\(p+q=\displaystyle\frac{3}{5}\) ・・・ ②

 

また、\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{| \overrightarrow{OA} |^2 \times | \overrightarrow{OD} |^2-\left(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OD}\right)^2}\) より、

\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2\times(p^2+q^2+1)-(p+q)^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{p^2-2pq+q^2+2} \) ・・・ ③

 

②で和の形が分かっている。

③は対称式

Sの最小値を求めたい

→相加平均・相乗平均の関係を利用

相加平均・相乗平均の関係の使い方については、

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(基本)

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(発展)

を参考にしてください。

 

③より、

\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{(p+q)^2-4pq+2}\)

②より\( S=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{-4pq+\displaystyle\frac{33}{9}}\) ・・・ ④

 

ここで、\(p\)、\(q\) を正の実数なので、相加平均・相乗平均の関係より

\(p+q≧2\sqrt{pq}\)

②より、\(\displaystyle\frac{5}{3}≧\sqrt{pq}\)

よって\(pq≦\displaystyle\frac{25}{36}\)

④より、\(S≧\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{-4\times\displaystyle\frac{25}{36}+\displaystyle\frac{33}{9}}\)

したがって、\(S≧\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\)

 

等号成立は、

\(\begin{cases}p=q\\p+q=\displaystyle\frac{5}{3}\end{cases}\)

 

以上より、\(p=q=\displaystyle\frac{5}{6}\) のとき、\(S\) の最小値は\(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\)

最後に

今回の問題は、2021宮崎大学の問題の誘導をなくし、少し条件を変えました。

もちろん様々な解法があると思いますが、ここでは難関大学で頻出テーマの「平面の方程式」を用いた解法を紹介しました。

また、入試問題における最重要テーマの1つである「相加平均・相乗平均の関係」も合わせて紹介しました。

この1問で入試問題の重要ポイントが学習できますので、ただ答えが出せるだけでなく、しっかりと考え方を大切にしてください!

3つの相加・相乗平均の関係|実践問題【慶応義塾大学】
相加平均・相乗平均の関係は入試頻出テーマ。 ただ公式を覚えているだけでは使えません。しっかりと使うタイミングを練習するための良問。

コメント

タイトルとURLをコピーしました