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【頻出】2次関数の解の配置(分離):1より大きい異なる2つの解、異符号の解など2パターン完全マスター

数学(大学入試問題)

2次関数の問題において、絶対におさえておきたい頻出テーマが2つあります。

1つは「最大値・最小値の場合分け」の問題!

【最重要】軸・範囲が動く2次関数の最大値・最小値の場合分け
2次関数の、「軸が動くMax・min問題」や、「範囲の両端が動くMax・min問題」は定期考査、共通テスト(センター試験)、2次試験まで頻出・重要テーマ。場合分けと聞くと苦手である人が多いが、両方のタイプの解法は全く同じで、完全パターンもの。しっかりとパターンを覚え、早く処理できるように例題を交えて演習。

 

そしてもう1つが「解の配置(分離)」の問題!

この問題もまた完全パターンものになりますので、しっかりとパターンをおさえましょう!

まず初めに、解の配置の問題がどのような問題なのか?

・2次方程式が実数解を持つ

☞ 判別式Dを考える

・2次方程式が○○の範囲に実数解を持つ

☞解の配置(分離)の問題

ただ実数解を持つだけでなく、ある範囲に解を持つという問題です

解の配置(分離)の有名2パターン

解の配置の問題は、大きく分けると2パターンあります。

それぞれのパターンを確認しましょう!

αより大きい(小さい)異なる2つの実数解をもつ

☞条件3種類について考える

① 判別式\(D\)

② 軸とα大小

③ \(f(α)\)の符号

 

軸の公式

\(y=ax^2+bx+c\) の

軸は \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a} \)

・\(f(α)\)について

\(f(α)\) は2次関数 \(y=f(x)\) に \(x=a\) を代入した時の \(y\) の値のこと

 

αより大きい解と小さい解をそれぞれ持つ

☞条件1種類について考える

 

① \(f(α)\)の符号

 

 

練習問題 パターン①

【例題】

2次関数 \(y=x^2-(a+3)x+a^2\) のグラフが \(x\) 軸の \(x>1\) の部分と異なる2点で交わるとき、定数 \(a\) の値の範囲を求めよ.

【考え方】

2つのグラフ (\(y=x^2-(a+3)x+a^2\) と \(x\) 軸(\(y=0\))) の交点の個数

☞ 方程式 \(x^2-(a+3)x+a^2=0\) の解の個数

\(x>1\) の範囲で、方程式 \(x^2-(a+3)x+a^2=0\) が異なる2つの解を持つための条件

☞解の配置のパターンの1つ目

【解答】

① 判別式 \(D>0\)

\(D={-(a+3)}^2-4 \cdot 1 \cdot a^2\)

\(=-3(a+1)(a-3)>0\)

よって \(-1<a<3\)

 

② \(軸>1\)

軸は、\(x=\displaystyle\frac{a+3}{2}\)より

\(\displaystyle\frac{a+3}{2}>1\)

よって \(a>-1 \)

 

③ \(f(1)>0\)

\(f(1)=1-(a+3)+a^2=(a+1)(a-2)>0\)

よって \(a<-1 , 2<a \)

 

①~③の共通範囲を求めて、\(2<a<3\)

 

練習問題 パターン②

【例題】

2次関数 \(y=x^2-(a+3)x+a^2\) のグラフが \(x\) 軸の \(x>1\) の部分と \(x<1\) の部分でそれぞれ交わるとき、定数 \(a\) の値の範囲を求めよ.

【考え方】

2つのグラフ (\(y=x^2-(a+3)x+a^2\) と \(x\) 軸(\(y=0\)))の交点の個数

☞方程式 \(x^2-(a+3)x+a^2=0\) の解の個数

\(x>1\) と \(x<1\) の範囲で、方程式 \(x^2-(a+3)x+a^2=0\) がそれぞれ解を持つための条件

☞ 解の配置のパターンの2つ目

【解答】

① \(f(1)<0\)

\(f(1)=1-(a+3)+a^2=(a+1)(a-2)<0\)

よって \(-1<a<2 \)

条件式を立てる練習

【練習】2次関数 \(y=x^2-mx\) のグラフについて

(1) \(x\) 軸の負の部分と、異なる2点で交わる

(2) \(x\) 軸の正の部分と負の部分で交わる

(3) \(x\) 軸の \(1≦x≦3\) の部分と、異なる2点で交わる

※条件式を立てるだけで、計算は省略します。

 

(1)はパターンの1つ目

① \(D>0\)

② 軸<0

③ \(f(0)>0\)

 

(2)はパターンの2つ目

① \(f(0)<0\)

 

 

(3)はパターンの1つ目

① \(D>0\)

② \(1<軸<3\)

③ \(f(1)≧0\)  , \(f(3)≧0\)

※③については、基準となる α が2つ(-1と3) あったため、それぞれの \(f(α)\) の符号を考えた.

まとめ

  • ある範囲で解を持つ👉解の分離
  • 図を書く→ 条件式 → 計算 の3STEPで処理!

置き換えによる2次関数の最大・最小[4STEP 162番]頻出重要問題・複二次式
頻出問題。複2次式:置き換えたら範囲の確認。4次関数を置き換えによって2次関数の最大最小問題として考える。 三角・指数・対数など、他分野においても頻出重要テーマ。数学Ⅰ:4ステップ。定期考査対策、2次試験対策。
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