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【tanx/2の置換積分】三角関数・数学Ⅲ積分|考え方・例題演習

積分まとめ
不定積分 \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{3\sin x+4\cos x}\enspace dx\) を求めよ.

発展問題:\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) と置換

三角関数の積分について、最終奥義として次の置換の方法を知っておいてください。
三角関数の積分において、最悪方針が見えないときは、多少計算は大変になるかもしれませんが、次の置換を行うことで処理できます!
その他,三角関数についての積分は「【数学Ⅲ】積分解法手順まとめ⑤三角関数のみの積分(置換・半角・積和・sin^nx公式)」を確認してください!

考え方・準備

\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) において微分すると、

\(dt=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{\cos^{2}\displaystyle\frac{x}{2}}dx\)

\(1+\tan^2 \theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}\) より、

\(dt=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{\cos^{2}\displaystyle\frac{x}{2}}dx=\displaystyle\frac{1}{2}\left(1+\tan^2\displaystyle\frac{x}{2}\right) dx\)

よって、\(dt=\displaystyle\frac{1}{2}(1+t^2)dx\) であるから、

\(dx=\displaystyle\frac{2}{1+t^2}dt\) ・・・①

 

次に、\(2\) 倍角の公式より

\(\cos x=\cos 2\cdot\displaystyle\frac{x}{2}=1-2\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}\)

\(=1-2\cdot\displaystyle\frac{1}{1+\tan^2\displaystyle\frac{x}{2}}\)

\(=1-2\cdot\displaystyle\frac{1}{1+t^2}=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\)

よって、\(\cos x=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\) ・・・②

 

さらに、

\(\sin x=2\sin \displaystyle\frac{x}{2}\cos \displaystyle\frac{x}{2}=2\cdot\displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{x}{2}}{\cos \displaystyle\frac{x}{2}}\cdot \cos^2 \displaystyle\frac{x}{2}\)

\(=2\tan \displaystyle\frac{x}{2}\cdot \displaystyle\frac{1}{1+\tan \displaystyle\frac{x}{2}}=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\)

よって、\(\sin x=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\) ・・・③

 

①~③より、

\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) とおくと、\(dx=\displaystyle\frac{2}{1+t^2}dt\)、

\(\cos x=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\)、\(\sin x=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\)

この形は、必ず自力で導けるようにしておきましょう!

また導ける上で、覚えると時間短縮できるので、覚えることをお勧めします!

解答

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{3\sin x+4\cos x}\enspace dx\)

\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) とおくと、

\(dx=\displaystyle\frac{2}{1+t^2}dt\) 、\(\cos x=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\)、\(\sin x=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\) より

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{3\sin x+4\cos x}\enspace dx\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{3\cdot\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}+4\cdot\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}}\cdot\displaystyle\frac{2}{1+t^2}dt\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{-5}{2t^2-3t-2}\enspace dt\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{-5}{(2t+1)(t-2)}\enspace dt\)

~ここは解答には残さなくてもよい~

\(\displaystyle\frac{-5}{(2t+1)(t-2)}=\displaystyle\frac{a}{2t+1}+\displaystyle\frac{b}{t-2}\) とおく.

分母を払って式を整理すると

\((a+2b)t-2a+b+5=0\)

\(a+2b=0\) かつ \(-2a+b+5=0\) より

\(a=2\)、\(b=-1\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{2t+1}\enspace dt-\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{t-2}\enspace dt\)

\(=\log{|2t+1|}-\log{|t-2|}+C\)

\(=\log\left|\displaystyle\frac{2t+1}{t-2}\right|+C\)

\(=\log\left|\displaystyle\frac{2\tan\displaystyle\frac{x}{2}+1}{\tan\displaystyle\frac{x}{2}-2}\right|+C\)

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