【tanx/2の置換積分】三角関数・数学Ⅲ積分｜考え方・例題演習

発展問題：\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) と置換

考え方・準備

\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) において微分すると、

\(dt=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{\cos^{2}\displaystyle\frac{x}{2}}dx\)

\(1+\tan^2 \theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 \theta}\) より、

\(dt=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{\cos^{2}\displaystyle\frac{x}{2}}dx=\displaystyle\frac{1}{2}\left(1+\tan^2\displaystyle\frac{x}{2}\right) dx\)

よって、\(dt=\displaystyle\frac{1}{2}(1+t^2)dx\) であるから、

\(dx=\displaystyle\frac{2}{1+t^2}dt\) ・・・①

次に、\(2\) 倍角の公式より

\(\cos x=\cos 2\cdot\displaystyle\frac{x}{2}=2\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}-1\)

\(=2\cdot\displaystyle\frac{1}{1+\tan^2\displaystyle\frac{x}{2}}-1\)

\(=2\cdot\displaystyle\frac{1}{1+t^2}-1=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\)

よって、\(\cos x=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\) ・・・②

さらに、

\(\sin x=2\sin \displaystyle\frac{x}{2}\cos \displaystyle\frac{x}{2}=2\cdot\displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{x}{2}}{\cos \displaystyle\frac{x}{2}}\cdot \cos^2 \displaystyle\frac{x}{2}\)

\(=2\tan \displaystyle\frac{x}{2}\cdot \displaystyle\frac{1}{1+\tan \displaystyle\frac{x}{2}}=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\)

よって、\(\sin x=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\) ・・・③

①～③より、

この形は、必ず自力で導けるようにしておきましょう！

また導ける上で、覚えると時間短縮できるので、覚えることをお勧めします！

解答

\(t=\tan\displaystyle\frac{x}{2}\) とおくと、

\(dx=\displaystyle\frac{2}{1+t^2}dt\) 、\(\cos x=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\)、\(\sin x=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\) より

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{3\sin x+4\cos x}\enspace dx\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{3\cdot\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}+4\cdot\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}}\cdot\displaystyle\frac{2}{1+t^2}dt\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{-5}{2t^2-3t-2}\enspace dt\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{-5}{(2t+1)(t-2)}\enspace dt\)

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{2t+1}\enspace dt-\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{t-2}\enspace dt\)

\(=\log{|2t+1|}-\log{|t-2|}+C\)

\(=\log\left|\displaystyle\frac{2t+1}{t-2}\right|+C\)

\(=\log\left|\displaystyle\frac{2\tan\displaystyle\frac{x}{2}+1}{\tan\displaystyle\frac{x}{2}-2}\right|+C\)