【2021学習院大学・文・第１問】
方程式 \(x^3-2x^2+x-1=0\) の解を \(x=\alpha,\beta,\gamma\) とする．
\(3\) 次方程式 \(x^3+ax^2+bx+c=0\) の解が \(x=\alpha^2,\beta^2,\gamma^2\) となるように実数 \(a\)，\(b\)，\(c\) を定めよ．
考え方
３次方程式の解と係数の関係
\(3\) 次方程式 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) (\(a≠0\))
の \(3\) 解を、\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) とすると
\(\alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle\frac{b}{a}\)
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle\frac{c}{a}\)
\(\alpha\beta\gamma=-\displaystyle\frac{d}{a}\)
\(3\) 文字の対称式
・\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\)
・\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
解答・解説
方程式 \(x^3-2x^2+x-1=0\) の解が \(x=\alpha,\beta,\gamma\) より
解と係数の関係から
\(\alpha+\beta+\gamma=2\) ・・・①
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=1\) ・・・②
\(\alpha\beta\gamma=1\) ・・・③
また，方程式 \(x^3+ax^2+bx+c=0\) の解が \(x=\alpha^2,\beta^2,\gamma^2\) となるとき
\(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=-a\) ・・・④
\(\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2=b\) ・・・⑤
\(\alpha^2\beta^2\gamma^2=-c\) ・・・⑥
ここで，
\(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\) より
①，②，④から
\(-a=2^2-2\times 1\) \(\iff\) \(a=-2\)
\(\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2=(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2-2(\alpha\beta\cdot\beta\gamma+\beta\gamma\cdot\gamma\alpha+\gamma\alpha\cdot\alpha\beta)\)
よって
\(\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2=(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2-2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)\)
①，②，③，⑤より
\(b=1^2-2\cdot 1\cdot 1\) \(\iff\) \(b=-3\)
③，⑥より
\(\alpha^2\beta^2\gamma^2=(\alpha\beta\gamma)^2\)
\(-c=1^2\) \(\iff\) \(c=-1\)
以上より，\(a=-2\)，\(b=-3\)，\(c=-1\)
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