【頻出｜2022京都大学・文】放物線と直交する2接線で囲まれた図形の面積

【2022京都大学・文】

\(xy\) 平面上の \(2\) 直線 \(L_{1}\) , \(L_{2}\) は直交し，交点の \(x\) 座標は \(\displaystyle\frac{3}{2}\) である．また，\(L_{1}\) , \(L_{2}\) はともに曲線 \(C\) : \(y=\displaystyle\frac{x^2}{4}\) に接している．

このとき， \(L_{1}\) , \(L_{2}\) および \(C\) で囲まれる図形の面積を求めよ．

考え方
解答・解説
参考：共通テスト裏技公式！
1. 覚えておいてほしい裏技公式

考え方

接線の方程式

\(y=f(x)\) 上の接点 \(( t , f(t) )\) における接線の方程式は

\(y-f(t)=f^{\prime}(t)(x-t)\)

解と係数の関係

\(x=\alpha\) ，\(\beta\) を解とする \(2\) 次方程式の \(1\) つは

\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)

固まりで積分

数学 Ⅲ を勉強している人にとっては常識的な公式ですが、文系の方はこの公式はぜひ使えるようにしておきましょう！これを使えるかどうかで、計算量が劇的に減ります！

\(\displaystyle\int (ax+b)^n \enspace dx=\displaystyle\frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}+C\)

例：\(\displaystyle\int (2x+1)^2 \enspace dx=\displaystyle\frac{1}{2\times3}(2x+1)^{3}+C\)

解答・解説

\(C\) と \(L_{1}\) , \(L_{2}\) との接点の \(x\) 座標をそれぞれ \(\alpha\) , \(\beta\) とおく．( \(\alpha<\beta\) )

\(y=\displaystyle\frac{x^2}{4}\) より \(y^{\prime}=\displaystyle\frac{x}{2}\) であるから，

\(L_{1}\) は，\(y-\displaystyle\frac{\alpha^2}{4}=\displaystyle\frac{\alpha}{2}(x-\alpha)\)

よって，\(y=\displaystyle\frac{\alpha}{2}x-\displaystyle\frac{\alpha^2}{4}\) ・・・①

同様に \(L_{2}\) は，\(y=\displaystyle\frac{\beta}{2}x-\displaystyle\frac{\beta^2}{4}\) ・・・②

\(2\) 直線 \(L_{1}\) , \(L_{2}\) は直交するので，

\(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\times \displaystyle\frac{\beta}{2}=-1\)

よって，\(\alpha\beta=-4\) ・・・③

また，①，②の交点の \(x\) 座標は \(\displaystyle\frac{3}{2}\) であるから

\(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\times \displaystyle\frac{3}{2}-\displaystyle\frac{\alpha^2}{4}=\displaystyle\frac{\beta}{2}\times \displaystyle\frac{3}{2}-\displaystyle\frac{\beta^2}{4}\)

\(\alpha^2-3\alpha=\beta^2-3\beta\)

\(\alpha^2-\beta^2-3(\alpha-\beta)=0\)

\((\alpha-\beta)(\alpha+\beta-3)=0\)

\(\alpha\not=\beta\) より \(\alpha+\beta=3\) ・・・④

③，④より \(\alpha\) , \(\beta\) は

\(t^2-3t-4=0\) の \(2\) つの実数解である

\((t+1)(t-4)=0\)

\(t = -1 , 4\)

よって，\(\alpha=–1\) , \(\beta=4\)

したがって求める面積は

\(\displaystyle\int^{\frac{3}{2}}_{-1}\left\{\displaystyle\frac{x^2}{4}-\left(-\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{4}\right)\right\}dx+\displaystyle\int^{4}_{\frac{3}{2}}\left\{\displaystyle\frac{x^2}{4}-(-2x-4)\right\}dx\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int^{\frac{3}{2}}_{-1}(x+1)^2 dx+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int^{4}_{\frac{3}{2}}(x-4)^2 dx\)

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\Bigl[\displaystyle\frac{1}{3}(x+1)^3\Bigr]^{\frac{3}{2}}_{-1}+\displaystyle\frac{1}{4}\Bigl[\displaystyle\frac{1}{3}(x-4)^3\Bigr]^{4}_{\frac{3}{2}}\)

\(=\displaystyle\frac{125}{48}\)