スポンサーリンク

2016 京都大学(理系:第2問)整数問題【素数】p^q+q^p と表される素数

数学(大学入試問題)

【2016 京都大学】

素数 \(p , q\) を用いて \(p^q+q^p\)

と表される素数をすべて求めよ.

 

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

この3つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください!

はじめに

☆素数「2」は特別扱い

素数の中で唯一の偶数である「2」は、素数問題において特別扱いされることが非常に多い。

(※2番目の素数である「3」も特別扱いされることが多い)

その為、何も方針が浮かばないのであれば、とりあえず「2」や「3」あたりを確認してみると良い。

 

☆平方数・指数はmod 3,mod 4 が有効

難関大学ではよく出題されるPointの1つ!

まずは下の表を見てください。

平方数において

何かの2乗(平方数)において、

mod 3→「1,1,0」の繰り返し

mod 4→「1,0」の繰り返し

という規則が存在!

指数において

指数においてもmod 3,mod 4を考えることで規則性を見つけることが出来る!

【考え方・思考の仕方】

《Step1》

整数問題のPoint①の積の形には・・・無理だろう。

※できないと言うことを確認することが大切!

 

《Step2》整数問題のPoint②の範囲の絞り込みについて

\(p≧2 , q≧2\) より、

\(p^q+q^p≧2^2+2^2=8\)

つまり、

\(p^q+q^p\)は8以上の素数であるから、「奇数」であることが分かる

→\((p^q , q^p)=\)(偶数,奇数) または (奇数,偶数)

→\(p^q , q^p\) の一方が偶数、他方は奇数

→\(p , q\) の一方が偶数、他方は奇数

→\(p=2\) または \(q=2\)

→\(p=2\) のときをとりあえず考えよう!

[参考]\(p^q+q^p\) は対称式なので、

\(p≦q\) と考え、問題文に書かれていない範囲を作り出すことをよくやる!

※対称式・・・文字を入れ替えても同じ式

例:\(x^2+xy+y^2\)など

※最後に求めた答えの逆を忘れないように!

例:\(p=1 , q=2\)が答えとして求まった場合、\(p=2 , q=1\)も答えとなる

《ここまでのまとめ》問題の言い換え

【問題】

素数 \(p , q\) を用いて \(p^q+q^p\)

と表される素数をすべて求めよ.

 

↓ 問題の言い換え ↓

 

・\(p=2\) かつ \(q\) は奇数の素数のとき、

\(2^q+q^2\) が素数となる \(q\) を求めたい.

《Step3》

整数問題のPoint③の倍数や余りに注目しつつ、とりあえず実験してみよう!

整数問題の極意は手を動かす(実験する)こと!困ったら実験あるのみ!

 

【具体的に実験した結果】

 

実験の結果から、とりあえず \(p=2 , q=3\) が答えであることは確定!

《注意》これだけで解答を終了したら、京大では大幅な減点!!

他に解はないことをしっかりと記述しよう!

《Step4》

\(q\) が5以上の素数のとき、

\(2^q+q^2\) が3の倍数になることを証明すればよい

☆平方や指数はmod 3,mod 4が有効!

\(q\) が3の倍数でないのとき、

法を3とすると

\(q^2≡1\) ・・・①

 

\(q\) が奇数のとき、

法を3とすると

\(2^q≡2\) ・・・①

 

\(q\) が5以上の素数のとき、

\(2^q+q^2≡2+1≡0\)

となり\(2^q+q^2\) が3の倍数になる!!

【解答】

(ⅰ) \(p≦q\) のとき

\(2≦p≦q\) より、\(p^q+q^p≧2^2+2^2=8\)

つまり、

\(p^q+q^p\)は8以上の素数 ・・・① となる.

8以上の素数ならば奇数であるから

\(p^q , q^p\) の一方が偶数、他方は奇数

つまり\(p , q\) の一方が偶数、他方は奇数

よって\(p=2\)

 

(ア) \(q=3\) のとき

\(p^q+q^p=17\) となり、題意を満たす.

よって\((p , q)=(2 , 3)\)

 

(イ) \(q≧5\) の素数のとき

法を3として

\(2^q≡2\) ・・・②

 

(②の証明)

\(q≧5\) の素数より、奇数となる

つまり、自然数 \(m\) を用いて

\(q=2m+1\) とおける.

\(2^q=2^{2m+1}=2\times4^m≡2\times 1^m=2\)

 

また、\(q^2≡1\) ・・・③

(③の証明)

\(q≧5\) の素数より、\(q\) は3の倍数ではない.

つまり、自然数 \(n\) を用いて

\(q=3n±1\) とおける.

\(q^2=(3n±1)^2≡(±1)^2=1\)

 

したがって、②、③より

\(2^q+q^2≡2+1≡0\)

すなわち、 \(2^q+q^2\) は3の倍数

この結果と①より、\(2^q+q^2\) は素数とならない

 

以上、(ア)、(イ)から、\((p , q)=(2 , 3)\)

 

(ⅱ) \(p≧q\) のとき

(ⅰ)と同様に考え \((p , q)=(3 , 2)\)

 

 

(ⅰ)、(ⅱ)より、

\((p , q)=(2 , 3) , (3 , 2)\)

最後に

いかがだったでしょうか?

決して簡単な問題ではありませんが、この1問を通して、整数問題で大切な考え方をたくさん学ぶことが出来ます。

同じ問題は出ることはありませんが、同じ形式の問題はよく出題されるので、しっかりと考え方を理解し、自分のものにしてください。

質問等があれば気軽にコメントor問い合わせからご連絡いただけたら、数日以内には返信させていただきます。

コメント

タイトルとURLをコピーしました