スポンサーリンク

【2020神戸大学・理系】(1)f(x)=sinx/xが最大となるx(2)lim(n/tanx)|数学Ⅲ:極限、微分

極限

【2020神戸大学・理系・第4問】

\(n\) を自然数とし,\(2n\pi≦x≦(2n+1)\pi\) に対して \(f(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{x}\) とする.

(1) \(f(x)\) が最大となる \(x\) の値がただ \(1\) つ存在することを示せ.

(2) (1)の \(x\) の値を \(x_{n}\) とする.このとき,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{n}{\tan x_{n}}\) を求めよ.

解答・解説

(1)

\(f(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{x}\) より

\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}\)

ここで \(g(x)=x\cos x-\sin x\) とおく.

\(g^{\prime}(x)=(\cos x-x\sin x)-\cos x=-x\sin x\) より

\(2n\pi<x<(2n+1)\pi\) において,\(g^{\prime}(x)<0\) であるから,

\(g(x)\) はこの区間で単調に減少する.

また,\(g(x)\) は \(2n\pi≦x≦(2n+1)\pi\) で連続で,

\(g(2n\pi)=2n\pi>0\)

\(g((2n+1)\pi)=-(2n+1)\pi<0\)

よって,\(g(x)=0\) は \(2n\pi<x<(2n+1)\pi\) の範囲でただ \(1\) つの実数解をもつ.

この実数解を \(x=\alpha\) とおくと \(f(x)\) の増減表は次のようになる.

\(x\) \(2n\pi\) ・・・ \(\alpha\) ・・・ \((2n+1)\pi\)
\(f^{\prime}(x)\) \(0\)
\(f(x)\) \(0\) ↗️ 極大 ↘️ \(0\)

したがって,\(f(x)\) が最大となる \(x\) の値が

\(2n\pi≦x≦(2n+1)\pi\) の範囲にただ \(1\) つ存在する.

(2)

\(g(x_{n})=0\) より

\(x_{n}\cos x_{n}-\sin x_{n}=0\)

\(\cos x_{n}=0\) とすると,\(\sin x_{n}\not=0\) であるから

\(x_{n}\cos x_{n}-\sin x_{n}=0\) になることはない.

よって,\(\cos x_{n}\not=0\)

\(\cos x_{n}\) で割ると

\(x_{n}-\displaystyle\frac{\sin x_{n}}{\cos x_{n}}=0\)

\(x_{n}-\tan x_{n}=0\)

\(\tan x_{n}=x_{n}\)

したがって,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{n}{\tan x_{n}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{n}{x_{n}}\)

\(2n\pi<x_{n}<(2n+1)\pi\) より

\(\displaystyle\frac{n}{(2n+1)\pi}<\displaystyle\frac{n}{x_{n}}<\displaystyle\frac{n}{2n\pi}=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\)

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{n}{(2n+1)\pi}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{1}{\left(2+\frac{1}{n}\right)\pi}=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\)

はさみうちの原理より

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{n}{\tan x_{n}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{n}{x_{n}}=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\)

【2013大阪大学】三角関数の極限x→0のときsinx/x=1、sinxの導関数の証明
三角関数の極限で最も有名な証明問題。扇形、三角形の面積の大小から有名不等式を立式し、はさみうちの原理で示す。またその結果を利用し、sinxの導関数がcosxとなることを示す。教科書に載っている証明であるが、しっかりと経験をしておかないと自力での証明は難しい。差がつく入試問題。2013阪大、理系、第1問。数学III:極限、微分
【神戸大・医】極限lim(n/a^n)=0,二項展開,はさみうちの原理
lim(1+n)^(1/n)の極限値について。二項定理(二項展開)から評価式(不等式)を作り、はさみうちの原理を利用して処理する頻出・有名問題。数学Ⅲ:極限 神戸大学・医学部過去問演習・対策。

コメント

タイトルとURLをコピーしました