【2020神戸大学・理系・第４問】
\(n\) を自然数とし，\(2n\pi≦x≦(2n+1)\pi\) に対して \(f(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{x}\) とする．
(１) \(f(x)\) が最大となる \(x\) の値がただ \(1\) つ存在することを示せ．
(２) (１)の \(x\) の値を \(x_{n}\) とする．このとき，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{n}{\tan x_{n}}\) を求めよ．
解答・解説
(１)
\(f(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{x}\) より
\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}\)
ここで \(g(x)=x\cos x-\sin x\) とおく．
\(g^{\prime}(x)=(\cos x-x\sin x)-\cos x=-x\sin x\) より
\(2n\pi<x<(2n+1)\pi\) において，\(g^{\prime}(x)<0\) であるから，
\(g(x)\) はこの区間で単調に減少する．
また，\(g(x)\) は \(2n\pi≦x≦(2n+1)\pi\) で連続で，
\(g(2n\pi)=2n\pi>0\)
\(g((2n+1)\pi)=-(2n+1)\pi<0\)
よって，\(g(x)=0\) は \(2n\pi<x<(2n+1)\pi\) の範囲でただ \(1\) つの実数解をもつ．
この実数解を \(x=\alpha\) とおくと \(f(x)\) の増減表は次のようになる．
| \(x\) | \(2n\pi\) | ・・・ | \(\alpha\) | ・・・ | \((2n+1)\pi\) |
| \(f^{\prime}(x)\) | ＋ | \(0\) | ー | ||
| \(f(x)\) | \(0\) | ↗️ | 極大 | ↘️ | \(0\) |
したがって，\(f(x)\) が最大となる \(x\) の値が
\(2n\pi≦x≦(2n+1)\pi\) の範囲にただ \(1\) つ存在する．
(２)
\(g(x_{n})=0\) より
\(x_{n}\cos x_{n}-\sin x_{n}=0\)
\(\cos x_{n}=0\) とすると，\(\sin x_{n}\not=0\) であるから
\(x_{n}\cos x_{n}-\sin x_{n}=0\) になることはない．
よって，\(\cos x_{n}\not=0\)
\(\cos x_{n}\) で割ると
\(x_{n}-\displaystyle\frac{\sin x_{n}}{\cos x_{n}}=0\)
\(x_{n}-\tan x_{n}=0\)
\(\tan x_{n}=x_{n}\)
したがって，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{n}{\tan x_{n}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{n}{x_{n}}\)
\(2n\pi<x_{n}<(2n+1)\pi\) より
\(\displaystyle\frac{n}{(2n+1)\pi}<\displaystyle\frac{n}{x_{n}}<\displaystyle\frac{n}{2n\pi}=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\)
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{n}{(2n+1)\pi}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{1}{\left(2+\frac{1}{n}\right)\pi}=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\)
はさみうちの原理より
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{n}{\tan x_{n}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{n}{x_{n}}=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\)
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