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2019 京都大学(理系:第2問)整数問題【3次関数と素数】modに注目!

数学(大学入試問題)

【問題】

\(f(x)=x^3+2x^2+2\) とする.

\(| f(n) |\) と \(| f(n+1) |\) がともに素数となる整数 \(n\) をすべて求めよ.

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

この3つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください!

【考え方・思考の仕方】

《Step1》「素数」は積の形に弱い!

例:仮に素数 \(p\) に対して、\(p=ab\) の形に式変形をすることが出来れば、

\(a=1\) または \(b=1\) である必要がある.※逆の確認が必要!

 

素数に関する話&整数問題のPointの1つ目より、\(f(x)=x^3+2x^2+2\) が因数分解したい!という気持ちになって欲しい.

→しかし残念ながら因数分解できず・・・撤退

※今回は結果的にできなかったが、ここでは問題文を見て、どのように思考していくかを大切にしています。考える癖を身に付けて欲しい.

※因数分解が出来ないからこそ次のStepに進める

《Step2》範囲による絞り込み

・範囲を整数問題のPointの2つ目より、条件から範囲を絞りたいが・・・???・・・撤退!!

※しつこいですが、できなかったことを確認することが大切!こうやって1つ1つ考えて、突破口を見出していくことが大切!

《Step3》倍数や余りに注目

・整数問題のPointの3つ目より、倍数や余りに注目!

→とりあえずmod 2、mod 3、mod 4あたりを考えてみよう!

※難関大学では3つ目のPointを使うことが非常に多い!

合同式って何?合同式を復習したい人は「合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする」と「合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習」を参考にしてください。

難関大学を考えている場合、合同式が使えないのは致命傷です!

 

→mod 2で考えてみる

( ⅰ ) \(n≡0\) のとき

\(f(n)≡0\) 、\(f(n+1)≡f(1)≡5≡1\)

( ⅱ ) \(n≡1\) のとき

\(f(n)≡1\) 、\(f(n+1)≡f(0)≡0\)

→( ⅰ )、( ⅱ )より、mod 2(偶奇) で考えた結果、\(f(n)\)、\(f(n+1)\) の偶奇は一致しない

→\(|f(n)|\)、\(|f(n+1)|\) の一方は偶数

 

☆素数かつ偶数 ☞ 2のみ!

→\(|f(n)|=2\) または \(|f(n+1)|=2\) を考えればよい!

※それぞれ計算しても良いが、2度計算するのは少し大変

→\(|f(x)|=2\) を満たす\(x\) を考えたのち、\(x=n , n+1\)を考える

 

※本問では結果的にmod 2 で突破口が見えたのでmod 3 やmod 4 を行わないが、mod 2 で無理だったら順番に行ってみる.

※難関大学の整数問題は、3つ目のPointを使用することが非常に多い!

【問題】

\(f(x)=x^3+2x^2+2\) とする.

\(| f(n) |\) と \(| f(n+1) |\) がともに素数となる整数 \(n\) をすべて求めよ.

【解答】

法を2として ( mod 2 として ) 考える

( ⅰ ) \(n≡0\) のとき

\(f(n)≡0\) 、\(f(n+1)≡f(1)≡1\)

( ⅱ ) \(n≡1\) のとき

\(f(n)≡1\) 、\(f(n+1)≡f(0)≡0\)

したがって、

\(|f(n)|\)、\(|f(n+1)|\) の一方は偶数、もう一方は奇数.

\(|f(n)|\)、\(|f(n+1)|\) は素数であるから、\(|f(n)|\)、\(|f(n+1)|\) のいずれか一方が2である必要がある.

\(|f(n)|=2\) のときに \(|f(n+1)|\) が素数になるかどうかの確認が必要!

(\(|f(n+1)|=2\) のときも同様)

ここで、\(|f(x)|=2\) を考える.

(ア)  \(f(x)=2\) のとき

\(x^3+2x^2+2=2\) より

\(x^3+2x^2=0\)

\(x^2(x+2) =0\)

\(x=0 , -2\)

\(x=n , n+1\) より

\(n=0 , -1 , -2 , -3 \)

 

\(n=0\) のとき、\(|f(n)|=2 \)、\(|f(n+1)|=5 \) となり条件を満たす.

\(n=-1\) のとき、\(|f(n)|=3 \)、\(|f(n+1)|=2 \) となり条件を満たす.

\(n=-2\) のとき、\(|f(n)|=2 \)、\(|f(n+1)|=3 \) となり条件を満たす.

\(n=-3\) のとき、\(|f(n)|=7 \)、\(|f(n+1)|=2 \) となり条件を満たす.

 

(イ)  \(f(x)=-2\) のとき

\(x^3+2x^2+2=2\) より

\(x^3+2x^2+4=0\)

整数解を持ちそうにない??

方程式の実数解

☞両辺のグラフの交点の\(x\) 座標

ここで\(g(x)= x^3+2x^2+4\) のグラフを考える

\(g^{\prime}(x)=3x^2+4x=x(3x+4)\)

増減表とグラフは以下の通りになり、

また、\(g(-3)=-5<0\) , \(g(-2)=4>0\) でグラフから

\(g(x)=0\) の実数解は、\(-3<x<-2\) に1つだけ.

つまり\(g(x)=0\) は整数解を持たないので不適

したがって、\(n=0 , -1 , -2 , -3 \)

最後に

いかがだったでしょうか?

ただ解答をなぞって勉強していては、いつまでも整数問題はできるようになりません。

どのように考え、失敗し、次の考え方に至るのかが大切です!

同じ問題は出題されませんが、同じ形式の問題は出題されます!

しっかりと考え方を学び、実力UPを!

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