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2019年度第4問【整数問題】センター試験過去問解答・解説(数学ⅠA)

数学(大学入試問題)

2019年センター試験(数学ⅠA)第4問[整数]

(1)問題・考え方・解説

特殊解の見つけ方について

1次不定方程式の解の1つ(特殊解)の見つけ方は主に次の3つになります!

① 頑張って探す

② ユークリッドの互除法の利用

③ 合同式の利用

②については、「【頻出】1次不定方程式 (ax+by=c)の解法2つ(模範解答と時短裏技)」で紹介しています。

ここでは、「③合同式の利用」で特殊解を見つける方法を紹介します。

合同式について不安がある方は

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習

を参考にしてください!

合同式は整数問題を扱う上で必須アイテムです!しっかりとマスターしましょう!

(1)解答・解説

\(49x-23y=1\) ・・・① とおく

①より、\(49x=23y+1\)

以下、\( mod 23\) として考えると、

\(49x≡1\) ・・・②

\(49x≡3x≡1\)

これを \(16\) 倍すると

\(48x≡16\)・・・③

②ー③より、\(x≡-15≡8\)

これを満たす \(1\) 桁の自然数は \(x=8\) ・・・〈ア〉

①より、\(y=17\) ・・・〈イウ〉

また①より、\(y=\displaystyle\frac{49}{23}x-\displaystyle\frac{1}{23}\)

つまり傾きが \(\displaystyle\frac{49}{23}\) の直線を表すので、格子点を考えると整数 \(k\) を用いて、

\(x=8+23k\)、\(y=17+49k\) ・・・〈エ〜キ〉

1次不定方程式の格子点を利用した解法については、

【頻出】1次不定方程式 (ax+by=c)の解法2つ(模範解答と時短裏技)

で詳しく説明しています.マーク試験であれば時短になります!

2018年度第4問【整数問題】センター試験過去問解答・解説(数学ⅠA)
約数の個数。合同式を利用した特殊解の見つけ方。格子点を利用した1次不定方程式の解法。センター試験(共通テスト)対策。頻出重要・差がつく整数問題
2022共通テスト整数「11^5x-2^5y=1」誘導なし(1次不定方程式・合同式・パスカルの三角形)
2022年共通テスト「第4問整数」1次不定方程式を誘導なし合同式を利用した時短解答を紹介。 2次試験でも使える考え方。また参考としてパスカルの三角形を利用した計算を紹介。

(2)問題と解説

\(A=49x\)、\(B=23y\) とおくと、

\(| 49x-23y |=1\) \(\iff\) \(49x-23y=\pm1\)

( ⅰ ) \(49x-23y=1\) のとき

(1)より、\(A\) が最小となるのは \((x,y)=(8,17)\)

つまり、\((A,B)=(49\times8,23\times17)\)

( ⅱ ) \(49x-23y=-1\) のとき

(1)よりこれを満たす特殊解の \(1\) つは、\((x,y)=(-8,-17)\)

よって整数 \(k\) を用いて、\(x=-8+23k\)、\(y=-17+49k\)

\(x\) が最小の自然数となるのは、\(k=1\) のとき

つまり、\(x=15\)

したがって題意を満たすのは、\((A,B)=(49\times8,23\times17)\) ・・・〈サ〜ス〉

また、\(| 49x-23y |=2\) \(\iff\) \(49x-23y=\pm2\)

上と同様に考えると、

( ⅰ ) \(49x-23y=2\) のとき

(1)よりこれを満たす特殊解の \(1\) つは、\((x,y)=(16,34)\)

よって整数 \(l\) を用いて、\(x=16+23k\)、\(y=34+49k\)

\(x\) が最小の自然数となるのは、\(k=0\) のとき \(x=16\)

( ⅱ ) \(49x-23y=-2\) のとき

(1)よりこれを満たす特殊解の \(1\) つは、\((x,y)=(-16,-34)\)

よって整数 \(l\) を用いて、\(x=-16+23k\)、\(y=-34+49k\)

\(x\) が最小の自然数となるのは、\(k=1\) のとき \(x=7\)

したがって、題意を満たすのは \(x=7\)

このとき \(y=15\)

よって、\((A,B)=(49\times7,23\times15)\) ・・・〈サ〜ス〉

(3)問題と解説

\(a\) が奇数のとき、\(a\) と \(a+2\) は互いに素であるから、最大公約数は \(1\)

\(a\) が偶数のとき、\(a+2\) も偶数であるから、最大公約数は \(2\)

よって、\(a\)、\(a+2\) の最大公約数は \(1\) または \(2\) ・・・〈セ〉

連続する \(2\) つの整数は互いに素であることは覚えておきましょう!

証明については2005 東京大学【整数問題】3 以上 999 以下の奇数aで、\(a^2-a\)が 10000 で割り切れるもの

次に、\(a\)、\(a+1\)、\(a+2\) は連続する \(3\) つの整数であるから、

少なくとも \(1\) つは \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数.

よって、\(6\) の倍数 ・・・〈ソ〉

連続する \(3\) 整数の積は \(6\) の倍数は覚えておきましょう!

(4)問題と解説

\(6762=2\times3\times7^2\times23\) ・・・〈タ〜テ〉

(1)からの流れを考えると、49=7^2、23 が答えになることは予想できてほしい!
共通テストの問題は、(1)→(2)→(3)→・・・と繋がっていく。
流れを意識しながら解けるようになると、計算ミスの減少、時間短縮につながる
\(b(b+1)(b+2)\) が \(6762\) の倍数のとき、\(b\)、\(b+1\)、\(b+2\) のいずれかは \(7^2=49\) の倍数であり、いずれかは \(23\) の倍数となる.
\(b\)、\(b+1\)、\(b+2\) の中で \(49\) の倍数であるものを \(A\)、\(23\) の倍数であるものを \(B\) とすると、
\(| A-B | = 0 , 1 , 2\) のいずれか

( ⅰ ) \(| A-B | = 0\) \(\iff\) \(A=B\) のとき

このとき \(b\) を最小とするのは、\(b+2=49\times23\)

よって、\(b=1125\)

( ⅱ ) \(| A-B | = 1\) \(\iff\) \(A-B=\pm1\) のとき

(2)より \(A\) が最小となるのは、\((A,B)=(49\times8,23\times17)\)

このとき \(b\) を最小とするのは、\(b+2=49\times8\)よって、\(b=390\)

( ⅲ ) \(| A-B | = 2\) \(\iff\) \(A-B=\pm2\) のとき

(2)より \(A\) が最小となるのは、\((A,B)=(49\times7,23\times15)\)

このとき \(b\) を最小とするのは、\(b+2=49\times7\)よって、\(b=343\)

したがって、求める \(b\) の値は、\(b=343\) ・・・〈ト〜ニ〉

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