【関数の微分可能性と連続性】「微分可能⇒連続」の逆は偽の反例(具体例)

【島根大学】

\(f(x)=\begin{cases}0 (x=0)\\x\sin \displaystyle\frac{1}{x} (x\not=0)\end{cases}\) , \(g(x)=\begin{cases}0 (x=0)\\x^2\sin \displaystyle\frac{1}{x} (x\not=0)\end{cases}\) とする．

(１)　\(f(x)\) は \(x=0\) で連続であるが，\(f^{\prime}(0)\) は存在しないことを示せ．

(２)　\(g^{\prime}(0)\) は存在するが，\(g^{\prime}(x)\) は \(x=0\) で不連続であることをしめせ．

関数の連続性について
関数の微分可能性
関数の連続性と微分可能性について
解答・解説
1. (１)
2. (２)

関数の連続性について

\(a\) を関数 \(f(x)\) の定義域に属する値とするとき，関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で連続であるとき

極限値 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)\) が存在する
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) \) が成り立つ

連続関数となる条件｜大阪府立大学

関数の連続性とはについて確認。そして大阪府立大学の過去問を用いた例題演習。無限等比数列の極限を利用して関数f(x)を区間分けされた形で表す。x=aで連続であるために、右側極限、左側極限、f(a)が存在、一致すること条件を考える。数学Ⅲ：微分(連続関数)

関数の微分可能性

ある関数 \(f(x)\) において，微分係数

\(f^{\prime}(a)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

が存在するとき，

\(f(x)\) は \(x=a\) において微分可能である

連　続・・・つながっている

微分可能・・・滑らかにつながっている

というざっくりとしたイメージを持っておきましょう！

関数の連続性と微分可能性について

「微分可能である」⇒「連続である」

が成り立つ．ただし逆は成り立たない．

逆が成り立たない反例については，(１)を参考に！

解答・解説

(１)

\(f(0)=0\) より，

\(0≦|f(h)-f(0)|=|f(h)|=\left|h\sin h\right|≦|h|\)

\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}|h|=0\) より，はさみうちの原理から

\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} |f(h)-f(0)|=0\)

よって，\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow a}f(x)=f(a)\)

ゆえに，\(f(x)\) は \(x=a\) で連続である．

次に

\(\displaystyle\frac{f(h)-f(0)}{h-0}=\displaystyle\frac{f(h)}{h}=\displaystyle\frac{1}{h}\cdot h\sin \displaystyle\frac{1}{h}=\sin \displaystyle\frac{1}{h}\) ( \(h\not=0\) )

において，\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\sin\displaystyle\frac{1}{h}\) は振動するため有限な値に収束しない．

つまり，\(f^{\prime}(0)\) は存在しない．

(２)

\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{g(h)-g(0)}{h}=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{g(0)}{h}=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}h\sin\displaystyle\frac{1}{h}\)

(１)より

\(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{g(h)-g(0)}{h}=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}f(h)=f(0)=0\)

よって，\(g^{\prime}(0)\) は存在する．

\(g^{\prime}(x)=\begin{cases}0(x=0)\\2x\sin \displaystyle\frac{1}{x}-\cos\displaystyle\frac{1}{x}(x\not=0)\end{cases}\)

\(x\rightarrow 0\) のとき，(１)より \(2x\sin \displaystyle\frac{1}{x}\rightarrow 0\) となるが，

\(\cos \displaystyle\frac{1}{x}\) は振動するため，\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}g^{\prime}(x)\) は存在しない．

つまり，\(g^{\prime}(x)\) は \(x=0\) で不連続である．