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【2021共通テスト】数学ⅡB:第5問ベクトル|正五角形と正十二面体

数学(大学入試問題)

【2021数学ⅡB:第5問ベクトル】

(1)問題と解答・解説

(1)解答・解説《ア〜オ》

正五角形の \(1\) つの内角の大きさは,

\(\displaystyle\frac{180°\times (5-2)}{5}=108°\)

よって,\(\angle A_{1}C_{1}B_{1}=\displaystyle\frac{108°}{3}=\)\(36°\) ・・・《アイ》

\(\angle C_{1}A_{1}A_{2}=36°\) となり錯角が等しいので

\(\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\) / / \(\overrightarrow{B_{1}C_{1}}\)

\(\left|\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\right|=a\) , \(\left|\overrightarrow{B_{1}C_{1}}\right|=1\) より

\(\overrightarrow{A_{1}A_{2}}=a\overrightarrow{B_{1}C_{1}}\) ・・・《ウ》

よって,\(\overrightarrow{B_{1}C_{1}}=\displaystyle\frac{1}{a}\overrightarrow{A_{1}A_{2}}=\displaystyle\frac{1}{a}\left(\overrightarrow{OA_{2}}-\overrightarrow{OA_{1}}\right)\)

また,\(\overrightarrow{OA_{1}}\) / / \(\overrightarrow{A_{2}B_{1}}\),\(\overrightarrow{OA_{2}}\) / / \(\overrightarrow{A_{1}C_{1}}\) より

\(\overrightarrow{B_{1}C_{1}}=\overrightarrow{B_{1}A_{2}}+\overrightarrow{A_{2}O}+\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}C_{1}}\)

\(=-a\overrightarrow{OA_{1}}-\overrightarrow{OA_{2}}+\overrightarrow{OA_{1}}+a\overrightarrow{OA_{2}}\)

\(=(1-a)\left(\overrightarrow{OA_{2}}-\overrightarrow{OA_{1}}\right)\) ・・・《エオ》

したがって,\(\displaystyle\frac{1}{a}=1-a\)

\(a^2-a-1=0\)

\(a>0\) に注意してこれを解くと \(a=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

(2)問題と解答・解説

(2)−①解答・解説《カ〜サ》

\(\overrightarrow{OB_{1}}=\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{A_{2}B_{1}}=\overrightarrow{OA_{2}}+a\overrightarrow{OA_{1}}\) ・・・①

また,\(\left|\overrightarrow{OA_{2}}-\overrightarrow{OA_{1}}\right|^2=\left|\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\right|^2=a^2\)

(1) より \(a^2-a-1=0\)

\(a^2=a+1=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1=\)\(\displaystyle\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) ・・・《カキク》

\(\left|\overrightarrow{OA_{2}}-\overrightarrow{OA_{1}}\right|^2=\left|\overrightarrow{OA_{2}}\right|^2-2\overrightarrow{OA_{1}}\cdot\overrightarrow{OA_{2}}+\left|\overrightarrow{OA_{1}}\right|^2=2-2\overrightarrow{OA_{1}}\cdot\overrightarrow{OA_{2}}\) であるから

\(\displaystyle\frac{3+\sqrt{5}}{2}=2-2\overrightarrow{OA_{1}}\cdot\overrightarrow{OA_{2}}\)

よって,\(\overrightarrow{OA_{1}}\cdot\overrightarrow{OA_{2}}=\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{4}\) ・・・《ケコサ》

(2)−②解答・解説《シス》

次に,面 \(OA_{2}B_{2}C_{2}A_{3}\) に着目すると

\(\overrightarrow{OB_{2}}=\overrightarrow{OA_{3}}+a\overrightarrow{OA_{2}}\)

さらに,各面はすべて合同な正五角形であるから,

\(\overrightarrow{OA_{2}}\cdot\overrightarrow{OA_{3}}=\overrightarrow{OA_{3}}\cdot\overrightarrow{OA_{1}}=\overrightarrow{OA_{1}}\cdot\overrightarrow{OA_{2}}=\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{4}\)

が成り立つので,

\(\overrightarrow{OA_{1}}\cdot\overrightarrow{OB_{2}}=\overrightarrow{OA_{1}\cdot\left(\overrightarrow{OA_{3}}+a\overrightarrow{OA_{2}}\right)}\)

\(=\overrightarrow{OA_{3}}\cdot\overrightarrow{OA_{1}}+a\overrightarrow{OA_{1}}\cdot\overrightarrow{OA_{2}}\)

\(=\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{4}(1+a)\)

\(=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{5}}{4}\) ・・・《シ:⑨》

さらに,

\(\overrightarrow{OB_{1}}\cdot\overrightarrow{OB_{2}}=\left(\overrightarrow{OA_{2}}+a\overrightarrow{OA_{1}}\right)\cdot\left(\overrightarrow{OA_{3}}+a\overrightarrow{OA_{2}}\right)\)

これを展開して計算すると,\(\overrightarrow{OB_{1}}\cdot\overrightarrow{OB_{2}}=0\) ・・・《ス:⓪》

(2)−③解答・解説《セ》

最後に,\(A_{2}C_{1}DEB_{2}\) に着目すると,

\(\overrightarrow{B_{2}D}=a\overrightarrow{A_{2}C_{1}}=\overrightarrow{OB_{1}}\)

であることに注意すると \(4\) 点 \(O\) , \(B_{1}\) , \(D\) , \(B_{2}\) は同一平面上にある.

また,\(OB_{2}\) , \(B_{1}D\) , \(OB_{1}\) , \(B_{2}D\) はすべて合同な正五角形の対角線であるから,

\(OB_{2}=B_{1}D=OB_{1}=B_{2}D=a\)

さらに,《ス》の結果から \(\overrightarrow{OB_{1}}\perp\overrightarrow{OB_{2}}\) であるから,

四角形 \(OB_{1}DB_{2}\) は 「 ⓪正方形である 」・・・《セ》

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