【2023昭和大学・医学部・Ⅰ期・第２問(１)】
実数 \(a\) , \(b\) , \(c\) が
\(a+b+c=8\) ，\(a^2+b^2+c^2=32\)
を満たすとき，\(c\) のとりうる範囲を不等式を用いて表せ．
考え方・解答・解説
考え方・方針の立て方
\(a+b+c=8\) ，\(a^2+b^2+c^2=32\) という条件からまず思えるようになって欲しいこと(方針の立て方)は，
① \(a\) , \(b\) , \(c\) は対称式
② \(1\) 文字消去
③ \(3\) 文字に対して \(2\) つの条件式しかない
のようなことが思えるようになって欲しいです！
①対称式\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\)
を利用してもその後が・・・
ということは②，③を次に考えるということですか？？
そうですね。本問では対称式は利用は難しそうですね。ただ対称式は頻出ですので，必ず考えられるようになっておきましょう！
さて，②についてですが，\(a\) または \(b\) のいずれかを文字消去しましょう！
どっちを消去しても構いませんが，今回は \(b=8-a-c\) として \(b\) を消去してみましょう！
\(b=8-a-c\) を \(a^2+b^2+c^2=32\) に代入すると
\(a^2+(8-a-c)^2+c^2=32\)
これを計算して整理すると・・・
\(a^2+(c-8)a+c^2-8c+16=0\) ができました！
でもこのあとは・・・？？
本問はそもそも \(3\) つの文字に対して \(2\) つの条件式しか利用していませんね！
まだ使っていない条件があります。
問題文をよく読んでください！！
\(a\) , \(b\) , \(c\) は実数！！！
つまり判別式が利用できます！！！
その通り！
あとは計算できますね！
解答・解説
\(a+b+c=8\) ・・・①
\(a^2+b^2+c^2=32\) ・・・②
①から \(b=8-a-c\) を②に代入すると
\(a^2+(8-a-c)^2+c^2=32\)
よって，\(a^2+(c-8)a+c^2-8c+16=0\)
\(a\) は実数であるから，判別式を \(D\) とすると
\(D≧0\)
\(\iff\) \((c-8)^2-4(c^2-8c+16)≧0\)
\(\iff\) \(-3c^2+16c≧0\)
\(\iff\) \(c(3c-16)≦0\)
\(\iff\) \(0≦c≦\displaystyle\frac{16}{3}\)
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