2024関西大学・全学部日程(理系)2月2日実施　第４問(１)相反方程式の解

【2024関西大学・全学部日程(理系)2/2第４問】

方程式 \(x^2+x-\displaystyle\frac{2}{x}+\displaystyle\frac{4}{x^2}-6=0\) の解のうち，最小のものを求めよ．

解答・解説

\(x^2+x-\displaystyle\frac{2}{x}+\displaystyle\frac{4}{x^2}-6=0\) より

\(\left(x-\displaystyle\frac{2}{x}\right)^2+4+\left(x-\displaystyle\frac{2}{x}\right)-6=0\)

ここで \(t=x-\displaystyle\frac{2}{x}\) とおくと

\(t^2+t-2=0\)

\((t+2)(t-1)=0\)

\(t=-2,1\)

・\(t=-2\) のとき

\(x-\displaystyle\frac{2}{x}=-2\)

\(x^2+2x-2=0\)

\(x=-1\pm\sqrt{3}\)

・\(t=1\) のとき

\(x-\displaystyle\frac{2}{x}=1\)

\(x^2-x-2=0\)

\((x+1)(x-2)=0\)

\(x=-1,2\)

よって解の中で最小のものは，\(x=-1-\sqrt{3}\)