分数式の積分について
※ 基本的公式レベルの問題を除き
\(Q1\)．三角・指数・対数関数があるか？ ☞ NO！
\(Q2\)．根号 ( ルート ) が入っているか？ ☞ NO！
\(Q3\)．分数式か？ ☞ YES！
のパターン(分数式の積分)についての解法まとめのページになっています！
このページで扱う例題は
① \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{2x+1}{x^2+x+1}\enspace dx\)
② \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+3x+2}{x^2+x+1}\enspace dx\)
③ \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x^2+2x}\enspace dx\)
④ \(\displaystyle\int^{4}_{1} \displaystyle\frac{1}{x^2-2x+4}\enspace dx\)
\(\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\) の形
例題①
\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{2x+1}{x^2+x+1}\enspace dx=\displaystyle\int \displaystyle\frac{(x^2+x+1)^{\prime}}{x^2+x+1}\enspace dx=\log{(x^2+x+1)}+C\)
(分子の次数) ≧ (分母の次数) ⇒ 字数下げ
次数下げをして
上記の『 \(\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\) の形 』 または 下記の 『 分母の因数分解 』へ！
例題②
\(\displaystyle\frac{x^2+3x+2}{x^2+x+1}=\displaystyle\frac{(x^2+x+1)+2x+1}{x^2+x+1}=1+\displaystyle\frac{2x+1}{x^2+x+1}\) より
\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+3x+2}{x^2+x+1}\enspace dx\\=\displaystyle\int \left(1+\displaystyle\frac{2x+1}{x^2+x+1}\right)\enspace dx\\=x+\displaystyle\int \displaystyle\frac{(x^2+x+1)^{\prime}}{x^2+x+1}\enspace dx\\=x+\log{(x^2+x+1)}+C\)
分母の因数分解(部分分数分解)
分母が因数分解でれば，部分分数分解の利用！
例題③
\(\displaystyle\frac{1}{x^2+2x}=\displaystyle\frac{1}{x(x+2)}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{x+2}\right)\) より
\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x^2+2x}\enspace dx\\=\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{x+2}\right)\enspace dx\\=\displaystyle\frac{1}{2} \left(\log{|x|}-\log{|x+2|}\right)+C\\=\displaystyle\frac{1}{2}\log{|\displaystyle\frac{x}{x+2}|}+C\)
分母が因数分解できないとき
平方完成をして、\(\tan\theta\) の置換
\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x^2+a^2}\enspace dx\)
☞ \(x=a\tan\theta\) と置換する
例題④
\(x^2-2x+4=(x-1)^2+3\) より
\(x-1=\tan\theta\) とおくと、\(dx=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta}d\theta\)
また、\(x\) が \(1\) \(\rightarrow\) \(4\) のとき \(\theta\) は \(0\) \(\rightarrow\) \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\) なので、
\(\displaystyle\int^{4}_{1} \displaystyle\frac{1}{x^2-2x+4}\enspace dx=\displaystyle\int^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}_{0} \displaystyle\frac{1}{3(\tan^2\theta+1)}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta}d\theta\)
ここで \(1+\tan^2\theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\) であるから、
与式は、\(\displaystyle\int^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}_{1} \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\enspace d\theta=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\enspace\Bigl[\theta\Bigr]^{\frac{\pi}{3}}_{0}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{9}\pi\)
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