分数式の積分について

※ 基本的公式レベルの問題を除き

\(Q1\)．三角・指数・対数関数があるか？　☞　NO！

\(Q2\)．根号 ( ルート ) が入っているか？　☞　NO！

\(Q3\)．分数式か？　☞　YES！

のパターン(分数式の積分)についての解法まとめのページになっています！

このページで扱う例題は

①　\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{2x+1}{x^2+x+1}\enspace dx\)

②　\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+3x+2}{x^2+x+1}\enspace dx\)

③　\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x^2+2x}\enspace dx\)

④　 \(\displaystyle\int^{4}_{1} \displaystyle\frac{1}{x^2-2x+4}\enspace dx\)

\(\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\) の形
1. 例題①
(分子の次数) ≧ (分母の次数) ⇒ 字数下げ
1. 例題②
分母の因数分解(部分分数分解)
1. 例題③
分母が因数分解できないとき
1. 例題④

\(\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\) の形

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\enspace dx=\log{|f(x)|}+C\)

この問題は基本レベルの問題ですね！

例題①

不定積分 \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{2x+1}{x^2+x+1}\enspace dx\) を求めよ．

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{2x+1}{x^2+x+1}\enspace dx=\displaystyle\int \displaystyle\frac{(x^2+x+1)^{\prime}}{x^2+x+1}\enspace dx=\log{(x^2+x+1)}+C\)

(分子の次数) ≧ (分母の次数) ⇒ 字数下げ

次数下げをして

上記の『 \(\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\) の形』または下記の『分母の因数分解』へ！

例題②

不定積分 \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+3x+2}{x^2+x+1}\enspace dx\) を求めよ．

\(\displaystyle\frac{x^2+3x+2}{x^2+x+1}=\displaystyle\frac{(x^2+x+1)+2x+1}{x^2+x+1}=1+\displaystyle\frac{2x+1}{x^2+x+1}\) より

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+3x+2}{x^2+x+1}\enspace dx\\=\displaystyle\int \left(1+\displaystyle\frac{2x+1}{x^2+x+1}\right)\enspace dx\\=x+\displaystyle\int \displaystyle\frac{(x^2+x+1)^{\prime}}{x^2+x+1}\enspace dx\\=x+\log{(x^2+x+1)}+C\)

分母の因数分解(部分分数分解)

分母が因数分解でれば，部分分数分解の利用！

例題③

不定積分 \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x^2+2x}\enspace dx\) を求めよ．

\(\displaystyle\frac{1}{x^2+2x}=\displaystyle\frac{1}{x(x+2)}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{x+2}\right)\) より

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x^2+2x}\enspace dx\\=\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{x+2}\right)\enspace dx\\=\displaystyle\frac{1}{2} \left(\log{|x|}-\log{|x+2|}\right)+C\\=\displaystyle\frac{1}{2}\log{|\displaystyle\frac{x}{x+2}|}+C\)

分母が因数分解できないとき

平方完成をして、\(\tan\theta\) の置換

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x^2+a^2}\enspace dx\)

☞　\(x=a\tan\theta\) と置換する

例題④

不定積分 \(\displaystyle\int^{4}_{1} \displaystyle\frac{1}{x^2-2x+4}\enspace dx\) を求めよ．

\(x^2-2x+4=(x-1)^2+3\) より

\(x-1=\tan\theta\) とおくと、\(dx=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta}d\theta\)

また、\(x\) が \(1\)　\(\rightarrow\) 　\(4\) のとき \(\theta\) は \(0\)　\(\rightarrow\) 　\(\displaystyle\frac{\pi}{3}\) なので、

\(\displaystyle\int^{4}_{1} \displaystyle\frac{1}{x^2-2x+4}\enspace dx=\displaystyle\int^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}_{0} \displaystyle\frac{1}{3(\tan^2\theta+1)}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta}d\theta\)

ここで \(1+\tan^2\theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}\) であるから、

与式は、\(\displaystyle\int^{\displaystyle\frac{\pi}{3}}_{1} \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\enspace d\theta=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\enspace\Bigl[\theta\Bigr]^{\frac{\pi}{3}}_{0}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{9}\pi\)