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【2022大阪医科薬科大学】看護学部・一般選抜(2科目入試)第3問:解答・解説

2022年入試問題

【2022大阪医科薬科大学・看護・[3]】

解答・解説

(1) 余弦定理

余弦定理

\(\triangle ABC\) において

・\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)

・\(\cos A=\displaystyle\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

余弦定理より

\(AC^2=5^2+7^2-2\times 5\times 7\times \displaystyle\frac{3}{5}=32\)

\(AC>0\) より \(AC=4\sqrt{2}\) ・・・( b )

(2) 正弦定理

正弦定理
\(\triangle ABC\) の外接円半径を \(R\) とする.

\(2R=\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\displaystyle\frac{b}{\sin B}=\displaystyle\frac{c}{\sin C}\)

 

\(\sin^2 B+\cos^2B=1\) より

\(\sin^2B=1-\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2=\displaystyle\frac{16}{25}\)

\(0°<B<180°\) より \(\sin B>0\) なので \(\sin B=\displaystyle\frac{4}{5}\)

正弦定理より

\(2R=\displaystyle\frac{b}{\sin B}=\displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{\frac{4}{5}}=5\sqrt{2}\)

よって,\(R=\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{2}\) ・・・( a )

(3) 円に内接する四角形

円に内接する四角形

・対角の和が 180°  ( \(B+D=180°\))

\(D=180°-B\) より

・\(\sin D=\sin(180°-B)=\sin B\)

・\(\cos D=\cos(180°-B)=-\cos B\)

\(\angle ABD=\angle CBD\) より

孤 \(AD=\) 孤 \(CD\)

よって \(AD=CD\) ( \(=x\) とおく )

\(\triangle ACD\) で余弦定理より

\((4\sqrt{2})^2=x^2+x^2-2\cdot x\cdot x\cdot \cos D\)

ここで,\(B+D=180°\) より

\(\cos D=\cos (180°-B)=-\cos B=-\displaystyle\frac{3}{5}\)

よって,\(32=2x^2-2x^2\times \left(-\displaystyle\frac{3}{5}\right)\)

\(\displaystyle\frac{16}{5}x^2=32\) \(\iff\)  \(x^2=10\)

\(x>0\) より \(x=\sqrt{10}\) ・・・( d )

(4)

\(OA=OD=R\) より

\(\triangle OAD\) は二等辺三角形となる.

点 \(O\) から \(AD\) に下ろした垂線の足を \(H\) とおく.

\(\triangle ODH\) で三平方の定理から

\(OD^2=OH^2+DH^2\)

\(\left(\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2=OH^2+\left(\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2\)

\(OH^2=10\)

よって \(OH=\sqrt{10}\)

したがって,

\(\triangle OAD=\displaystyle\frac{1}{2}\times AD\times OH=\displaystyle\frac{1}{2}\times \sqrt{10}\times \sqrt{10}\)

\(\triangle OAD=5\) ・・・( c )

【2022大阪医科薬科大学】看護学部・一般選抜(2科目入試)第4問:解答・解説
方べきの定理、接弦定理(接線と弦の作る角)、余弦定理、相似な三角形から各辺の長さを求める、頻出・重要基礎問題。定期考査対策、共通テスト対策。2022大阪医療薬科大学・看護学部・一般入試問題、第4問の解説。小問群。私立大学対策。看護数学ⅠA:図形

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