【2017横浜市立大学・医学部】148953/298767を約分して、既約分数にせよ

【2017横浜市立大学・医学部】

\(\displaystyle\frac{148953}{298767}\) を約分して、既約分数にせよ．

実際に医学部で出題された問題になります。

たかが約分、されど約分。

ただ約分をするだけの問題ですから、分母分子をガッツで探し続ければいつかは答えが求まりますが・・・

さて、この問題を見てしっかりと方針が立てれるでしょうか？当然、ただただガッツで求める問題ではありません！

倍数判定法

倍数判定について

\(2\) の倍数　⇒　下 \(1\) 桁が \(2\) の倍数
\(4\) の倍数　⇒　下 \(2\) 桁が \(4\) の倍数
\(8\) の倍数　⇒　下 \(3\) 桁が \(8\) の倍数
\(5\) の倍数　⇒　下 \(1\) 桁が \(5\) の倍数
\(3\) の倍数　⇒　各位の和が \(3\) の倍数
\(9\) の倍数　⇒　各位の和が \(9\) の倍数
\(11\) の倍数：「奇数桁の数の和」と「偶数桁の数の和」の差が \(11\) の倍数

まず初めに、分子の \(148953\) について各位の和を考えると、

\(1+4+8+9+5+3=30\) となる \(3\) の倍数

分母の \(298767\) について各位の和を考えると、

\(2+9+8+7+6+7=39\) となる \(3\) の倍数

したがって、分母分子ともに \(3\) で割れるので、

\(\displaystyle\frac{148953}{298767}=\displaystyle\frac{49651}{99589}\)

多くの人がここまではできます。差がつくのはこの先。

この分数がこれ以上約分できるかどうかの判断はできますか？

ここからが本問のポイントになります！

【ユークリッドの互除法】

\(2\) つの自然数 \(a\) 、\(b\) において、\(a\) を \(b\) で割ったときの商を \(q\)、余りを \(r\)

\(a=b\times q+r\) のとき

\(a\) と \(b\) の最大公約数は、\(b\) と \(r\) の最大公約数に等しい

まだ約分ができるということは、分母分子の最大公約数が \(1\) よりも大きいことを意味します。

つまり、分母と分子の最大公約数を求めることができれば、約分できるかどうがを判断することができます。

そこで、大きな値(または文字式)の最大公約数についての問題は、ユークリッドの互除法を利用できるようになりましょう！

\(\displaystyle\frac{148953}{298767}\) の分母分子はともに \(3\) で割れるため

\(\displaystyle\frac{148953}{298767}=\displaystyle\frac{49651}{99589}\)

次に、

\(99589=49651\times 2+287\)

\(49651=287\times 173+0\)

ユークリッドの互除法より、

\(99589\) と \(49651\) の最大公約数は、\(287\) となる．

したがって、

\(\displaystyle\frac{49651}{99589}=\displaystyle\frac{287\times 173}{287\times 347}=\displaystyle\frac{173}{347}\)

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