積分基本公式確認

このページで扱う例題は

次の不定積分を求めよ．

①　\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{(x\sqrt{x}-1)^2}{x}\enspace dx\)

②　\(\displaystyle\int(2x+1)^3\enspace dx\)

③　\(\displaystyle\int\cos(3x+1)\enspace dx\)

④　\(\displaystyle\int e^{1-2x}\enspace dx\)

⑤　\(\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\enspace dx\)

⑥　\(\displaystyle\int \displaystyle\sin^3 x\cos x\enspace dx\)

⑦　\(\displaystyle\int \tan x\enspace dx\)

⑧　\(\displaystyle\int \log{x}\enspace dx\)

はじめに
\(x^\alpha\) の不定積分
三角関数の不定積分
指数関数の不定積分
置換積分法
部分積分法
その他(覚えておくと便利)

はじめに

数学Ⅲの積分を一度履修した人に対して、復習、演習をするための「積分まとめ」になります。

基本的な公式演習から、実際の入試問題まで、有名パターンを網羅していますので、苦手な分野、またどのような手順で、どのパターンを使っていくのかの見極めを練習し、積分を武器にしていきましょう！

以下全てにおいて、\(C\) は積分定数とする．

\(x^\alpha\) の不定積分

・\(\displaystyle\int x^\alpha\enspace dx=\displaystyle\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\)　( ただし、\(\alpha\not=-1\) )

・\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{x}\enspace dx=\log|x|+C\)

例題①

①　\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{(x\sqrt{x}-1)^2}{x}\enspace dx\)

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{(x\sqrt{x}-1)^2}{x}\enspace dx\\=\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^3-2x\sqrt{x}+1}{x}\enspace dx\\=\displaystyle\int \left(x^2-2x^{\frac{1}{2}}+\displaystyle\frac{1}{x}\right)\enspace dx\\=\displaystyle\frac{1}{3}x^3-\displaystyle\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+\log{|x|}+C\\=\displaystyle\frac{1}{3}x^3-\displaystyle\frac{4}{3}x\sqrt{x}+\log{|x|}+C\)

三角関数の不定積分

・\(\displaystyle\int\sin x\enspace dx=-\cos x+C\)

・\(\displaystyle\int\cos x\enspace dx=\sin x+C\)

・\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\enspace dx=\tan x+C\)

・\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}\enspace dx=-\displaystyle\frac{1}{\tan x}+C\)

指数関数の不定積分

・\(\displaystyle\int e^x\enspace dx=e^x+C\)

・\(\displaystyle\int a^x\enspace dx=\displaystyle\frac{a^x}{\log{a}}+C\)

置換積分法

\(f(1次式)\) の不定積分

・\(F^{\prime}(x)=f(x)\) 、\(a\not=0\) とするとき

\(\displaystyle\int f(ax+b)\enspace dx=\displaystyle\frac{1}{a}F(ax+b)+C\)

例題②③④

次の不定積分を求めよ．

②　\(\displaystyle\int(2x+1)^3\enspace dx\)

③　\(\displaystyle\int\cos(3x+1)\enspace dx\)

④　\(\displaystyle\int e^{1-2x}\enspace dx\)

②　\(\displaystyle\int(2x+1)^3\enspace dx=\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{1}{4}(2x+1)^4+C=\displaystyle\frac{1}{8}(2x+1)^4+C\)

③　\(\displaystyle\int\cos(3x+1)\enspace dx=\displaystyle\frac{1}{3}\sin(3x+1)+C\)

④　\(\displaystyle\int e^{1-2x}\enspace dx=\displaystyle\frac{1}{-2}e^{1-2x}+C=-\displaystyle\frac{1}{2}e^{1-2x}+C\)

置換積分法Ⅰ

・\(\displaystyle\int f(x)\enspace dx=\displaystyle\int f(g(t))g^{\prime}(t)\enspace dt\)

ただし、\(x=g(t)\)

例題⑤

⑤　\(\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\enspace dx\)

\(t=\sqrt{x+1}\) とおくと、\(x=t^2-1\) より \(dx=2t\enspace dt\)

\(\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\enspace dx\\=\displaystyle\int(t^2-1)t\cdot 2t\enspace dt\\=2\displaystyle\int (t^4-t^2)\enspace dx\\=2\left(\displaystyle\frac{t^5}{5}-\displaystyle\frac{t^3}{3}\right)+C\\=\displaystyle\frac{2}{15}t^3(3t^2-5)+C\\=\displaystyle\frac{2}{15}(3x-2)(x+1)\sqrt{x+1}+C\)

置換積分法Ⅱ

・\(\displaystyle\int f(g(x))g^{\prime}(x)\enspace dx=\displaystyle\int f(u)\enspace du\)

ただし、\(g(x)=u\)

・\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}\enspace dx=\log{|g(x)|}+C\)

例題⑥⑦

次の不定積分を求めよ．

⑥　\(\displaystyle\int \displaystyle\sin^3 x\cos x\enspace dx\)

⑦　\(\displaystyle\int \tan x\enspace dx\)

⑥　\(\displaystyle\int \displaystyle\sin^3 x\cos x\enspace dx=\displaystyle\int \sin^3 x(\sin x)^{\prime}\enspace dx=\displaystyle\frac{1}{4}\sin^4 x+C\)

⑦　\(\displaystyle\int \tan x\enspace dx=\displaystyle\int \frac{\sin x}{\cos x}\enspace dx=\displaystyle\int \displaystyle\frac{-(\cos x)^{\prime}}{\cos x}\enspace dx=-\log{|\cos x|}+C\)

※⑦は公式として覚えてもよい！

部分積分法

・\(\displaystyle\int f(x)g^{\prime}(x)\enspace dx=f(x)g(x)-\displaystyle\int f^{\prime}(x)g(x)\enspace dx\)

例題⑧

⑧　\(\displaystyle\int \log{x}\enspace dx\)

\(\displaystyle\int \log{x}\enspace dx\\=\displaystyle\int (x)^{\prime}\log{x}\enspace dx\\=x\log{x}-\displaystyle\int x(\log{x})^{\prime}\enspace dx\\=x\log{x}-\displaystyle\int x\cdot \displaystyle\frac{1}{x}\enspace dx\\=x\log{x}-x+C\)

※公式として覚えるべき！