【2023関西大学・全学部・理系・第１問】
\(e\) を自然対数の底とする．\(x>0\) を定義域とする関数 \(f(x)\) は次の条件を満たす．
\(f^{\prime}(x)=ef(x)+\displaystyle\frac{e^{ex}}{x}\)，\(f(1)=0\)
ただし，\(f^{\prime}(x)\) は \(f(x)\) の導関数である．次の問いに答えよ．
(１) 関数 \(\displaystyle\frac{f(x)}{e^{ex}}\) の導関数を求めよ．
(２) 関数 \(f(x)\) を求めよ．
(３) 関数 \(\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{e^{ex}}\) の増減を調べ，方程式 \(f^{\prime}(x)=0\) の正の解を求めよ．
解答・解説
(１) \(\displaystyle\frac{f(x)}{e^{ex}}\) の導関数を求めよ．
\(f^{\prime}(x)=ef(x)+\displaystyle\frac{e^{ex}}{x}\) ・・・①
\(\left\{\displaystyle\frac{f(x)}{e^{ex}}\right\}^{\prime}=\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)\cdot e^{ex}-f(x)\cdot\left(e^{ex}\right)^{\prime}}{e^{2ex}}\)
\(=\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)-ef(x)}{e^{ex}}\)
①から \(f^{\prime}(x)-ef(x)=\displaystyle\frac{e^{ex}}{x}\) より
\(\left\{\displaystyle\frac{f(x)}{e^{ex}}\right\}^{\prime}=\displaystyle\frac{1}{x}\)
(２) \(f(x)\) を求めよ．
(１)より
\(\displaystyle\frac{f(x)}{e^{ex}}=\log{x}+C\) (ただし \(C\) は積分定数)
\(f(1)=0\) より
\(\displaystyle\frac{f(1)}{e^{e}}=\log{1}+C\) \(\iff\) \(C=0\)
\(\displaystyle\frac{f(x)}{e^{ex}}=\log{x}\)
よって，\(f(x)=e^{ex}\log{x}\)
(３) \(\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{e^{ex}}\) の増減，\(f^{\prime}(x)=0\) の正の解
①より
\(\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{e^{ex}}=\displaystyle\frac{ef(x)+\displaystyle\frac{e^{ex}}{x}}{e^{ex}}\)
(２)より
\(\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{e^{ex}}=e\log{x}+\displaystyle\frac{1}{x}=g(x)\) とおく．
\(g^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{e}{x}-\displaystyle\frac{1}{x^2}\)
\(=\displaystyle\frac{ex-1}{x^2}\)
\(g^{\prime}(x)=0\) のとき \(x=\displaystyle\frac{1}{e}\)
| \(x\) | \(0\) | ・・・ | \(\displaystyle\frac{1}{e}\) | ・・・ |
| \(g^{\prime}(x)\) | ー | \(0\) | ＋ | |
| \(g(x)\) | ↘️ | ↗️ |
\(g\left(\displaystyle\frac{1}{e}\right)=e\log{\displaystyle\frac{1}{e}}+e=0\)
よって \(g(x)=\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{e^{ex}}=0\) を満たす正の解は \(x=\displaystyle\frac{1}{e}\)
これは，\(f^{\prime}(x)=0\) の解と一致するので
\(f^{\prime}(x)=0\) の正の解は \(x=\displaystyle\frac{1}{e}\)
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