【2022香川大学・医学部】f(x)=xlogxの部分積分、最小値(数学Ⅲ)

【2022香川大学・医学部・第４問】

関数 \(f(x)=x\log x\) について，次の問に答えよ．

(１)　不定積分 \(\displaystyle\int f(x)dx\) を求めよ．

(２)　\(a>1\) に対し，\(I(a)=\displaystyle\int^{a}_{1}\left\{5f(x)-af^{\prime}(x)\right\} dx\) とおく．このとき，\(I(a)\) を \(a\) を用いて表せ．

(３)　\(a>1\) における \(I(a)\) の最小値と，そのときの \(a\) の値を求めよ．

解答・解説

積分定数を \(C\) とする．

\(\displaystyle\int f(x)dx\)

\(=\displaystyle\int x\log xdx\)

\(=\displaystyle\int \left(\displaystyle\frac{1}{2}x^2\right)^{\prime}\log xdx\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}x^2\log x-\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{2}xdx\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}x^2\log x-\displaystyle\frac{1}{4}x^2+C\)

(１)の結果から，\(F^{\prime}(x)=f(x)\) とすると \(F(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x^2\log x-\displaystyle\frac{1}{4}x^2\) とおける．

\(I(a)=\displaystyle\int^{a}_{1}\left\{5f(x)-af^{\prime}(x)\right\} dx\)

\(=\Bigl[5F(x)-af(x)\Bigr]^{a}_{1}\)

\(=5\left(F(a)-F(1)\right)-a\left(f(a)-f(1)\right)\)

\(=5\left(\displaystyle\frac{1}{2}a^2\log a-\displaystyle\frac{1}{4}a^2+\displaystyle\frac{1}{4}\right)-a^2\log a\)

\(=\displaystyle\frac{3}{2}a^2\log a-\displaystyle\frac{5}{4}a^2+\displaystyle\frac{5}{4}\)

(２)の結果から

\(I^{\prime}(a)=3a\log a+\displaystyle\frac{3}{2}a-\displaystyle\frac{5}{2}a=3a\log a-a\)

よって，\(I^{\prime}(a)=a(3\log a-1)\)

\(I^{\prime}(a)=a(3\log a-1)=0\) のとき

\(a>1\) より \(a=e^{\frac{1}{3}}\)

したがって，\(I(a)\) は \(a=e^{\frac{1}{3}}\) で

最小値：\(-\displaystyle\frac{3}{4}e^{\frac{2}{3}}+\displaystyle\frac{5}{4}\)