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【2011大阪大学】どのような(任意の)整数⇒必要条件で考え、十分条件の確認

数学(大学入試問題)

【2011大阪大学】

実数の組 \((x,y,z)\) で,どのような整数 \(l\) , \(m\) , \(n\) に対しても,等式

\(l\cdot10^{x-y}-nx+l\cdot10^{y-z}+m\cdot10^{z-x}=13l+36m+ny\)

が成り立つようなものをすべて求めよ.

任意の○○で成り立つ⇒必要条件で考える

任意の○○で成り立つ

必要条件で考え、十分条件の確認

※○○には,「実数」や「整数」など

任意の値で成り立つということは,何を代入しても成り立つということ!

そこで,最初に都合のいい値を代入し,答えを求めましょう!

※しかし記述の場合,ここで解答を終了したら大幅減点!

答えを求めたら,その値を元の式に代入して一般的に成り立つか確認しましょう!

解答・解説

\(l\cdot10^{x-y}-nx+l\cdot10^{y-z}+m\cdot10^{z-x}=13l+36m+ny\) ・・・①

①はどのような整数 \(l\) , \(m\) , \(n\) に対しても成り立つので,

①に次の値をそれぞれ代入しても等式は成立する

( ⅰ ) \(l=0\) , \(m=0\) , \(n=1\) のとき

\(-x=y\) ・・・②

( ⅱ ) \(l=0\) , \(m=1\) , \(n=0\) のとき

\(10^{x-z}=36\) ・・・③

( ⅲ ) \(l=1\) , \(m=0\) , \(n=0\) のとき

\(10^{x-y}+10^{y-z}=13\) ・・・④

②を④に代入して

\(10^{2x}+10^{-x-z}=13\) ・・・⑤

ここで \(a=10^x\) , \(b=10^z\) ( \(a>0\) , \(b>0\) ) とおくと

③,⑤より

\(\displaystyle\frac{a}{b}=36\) , \(a^2+\displaystyle\frac{1}{ab}=13\)

よって,\(a^2+\displaystyle\frac{36}{a^2}=13\)

\(a^4-13a^2+36=0\)

\((a^2-4)(a^2-9)=0\)

\(a>0\) より \(a=2,3\)

 

・\(a=2\) のとき \(b=\displaystyle\frac{1}{18}\)

\(10^x=2\) , \(10^z=\displaystyle\frac{1}{18}\)

\(x=\log_{10}{2}\) , \(z=-\log_{10}{18}\)

よって,\((x,y,z)=(\log_{10}{2},-\log_{10}{2},-\log_{10}{18})\)

 

・\(a=3\) のとき \(b=\displaystyle\frac{1}{12}\)

\(10^x=3\) , \(10^z=\displaystyle\frac{1}{12}\)

\(x=\log_{10}{3}\) , \(z=-\log_{10}{12}\)

よって,\((x,y,z)=(\log_{10}{3},-\log_{10}{3},-\log_{10}{12})\)

ここまでは必要条件を考えた答え!

必ずこれらの答えが一般に成り立つかどうか「十分条件の確認」を記述しましょう!

逆にこのとき,①の両辺にそれぞれ代入するとともに成立する.

したがって,

\((x,y,z)=(\log_{10}{2},-\log_{10}{2},-\log_{10}{18}),(\log_{10}{3},-\log_{10}{3},-\log_{10}{12})\)

本問は代入した計算は省略しますが,計算については各自しっかりと成り立つか確認しておきましょう!

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