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【2022北海道大学・理系(第5問)】複素数平面、ド・モアブルの定理

2022年入試問題

【2022北海道大学・理系(第5問)】

複素数 \(z\) に関する次の \(2\) つの方程式を考える.ただし,\(\overline{z}\) を \(z\) と共役な複素数とし, \(i\) を虚数単位とする.

\(z\overline{z}=4\) ・・・①,\(|z|=|z-\sqrt{3}+i|\) ・・・②

(1) ①,②それぞれの方程式について,その解 \(z\) 全体が表す図形を複素数平面上に図示せよ.

(2) ①,②の共通解となる複素数をすべて求めよ.

(3) (2)で求めたすべての複素数の積を \(w\) とおく.このとき, \(w^n\) が負の実数となるための整数 \(n\) の必要十分条件を求めよ.

解答・解説

(1)

\(z=x+yi\) ( \(x\),\(y\) は実数 ) とおくと,

\(z\overline{z}=4\) より

\((x+yi)(x-yi)=4\) \(\iff\) \(x^2+y^2=4\) ・・・① ’

\(|z|=|z-\sqrt{3}+i|\) より

\(|x+yi|=|x+yi-\sqrt{3}+i|=|(x-\sqrt{3})+(y+1)i|\)

\(\iff\) \(\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-\sqrt{3})^2+(y+1)^2}\)

両辺を \(2\) 乗してまとめると

\(y=\sqrt{3}x-2\) ・・・② ‘

① ’,② ‘ の交点を求めると

\((x,y)=(0,-2),(\sqrt{3},1)\) より

\(z\) 全体が表す図形は下図となる.

(2)

(1)より \(z=-2i\) ,\(z=\sqrt{3}+i\)

(3)

\(w=-2i(\sqrt{3}+i)=2-2\sqrt{3}i\) より

\(w=4\left\{-\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\right\}\)

ド・モアブルの定理より

\(w^n=4^n\left\{\cos\left(-\displaystyle\frac{n\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\displaystyle\frac{n\pi}{3}\right)\right\}\)

これが負の実数となるのは,整数 \(k\) を用いて

\(-\displaystyle\frac{n\pi}{3}=(2k-1)\pi\)

よって,\(n=-6k+3\) ( k は整数 )

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