根号(ルート)を含む積分について
※ 基本的公式レベルの問題を除き
(基本公式の確認は「まとめ①」を確認！)
Q1．三角・指数・対数関数があるか？ ☞ NO！
Q2．根号 ( ルート ) が入っているか？ ☞ YES！
のパターン(根号(ルート)を含む積分)についての解法まとめのページになっています！
このページで扱う例題は
① \displaystyle\int x\sqrt{x+1}\enspace dx
② a は正の定数とする．
定積分 \displaystyle\int^{a}_{0} \sqrt{a^2-x^2}\enspace dx を求めよ．
③ \displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\enspace dx
\sqrt{\text{1次式}} のとき
例題①
t=\sqrt{x+1} とおくと x=t^2-1 より
dx=2t\cdot dt
よって、\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\enspace dx\\=\displaystyle\int (t^2-1)t\cdot 2t dt\\=2\displaystyle\int(t^4-t^2)\enspace dt\\=\displaystyle\frac{2}{15}t^3(3t^2-5)+C\\=\displaystyle\frac{2}{15}(3x-2)(x+1)\sqrt{x+1}+C
\sqrt{\text{2次式}} のとき
例題②x=a\sin\theta と置換
a は正の定数とする．
定積分 \displaystyle\int^{a}_{0} \sqrt{a^2-x^2}\enspace dx を求めよ．
x=a\sin\theta とおくと dx=a\cos\theta\cdot d\theta
x が 0 \rightarrow a のとき
\theta は 0 \rightarrow \displaystyle\frac{\pi}{2} より
\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}=\sqrt{a^2\cos^2\theta}=a|\cos\theta|
0≦\theta≦\displaystyle\frac{\pi}{2} より、
\sqrt{a^2-x^2}=\cos\theta
よって、
\displaystyle\int^{a}_{0} \sqrt{a^2-x^2}\enspace dx\\=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} (a\cos\theta)a\cos\theta\cdot d\theta\\=a^2\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \cos^2\theta d\theta\\=\displaystyle\frac{a^2}{2}\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}(1+\cos2\theta)d\theta\\=\displaystyle\frac{a^2}{2}\Bigl[\theta+\displaystyle\frac{1}{2}\sin2\theta\Bigr]^{\frac{\pi}{2}}_{0}\\=\displaystyle\frac{\pi a^2}{4}
例題③x+\sqrt{x^2+a}=t と置換
x+\sqrt{x^2+a}=t とおく．(☜これは知らないと無理！覚えよう！)
\displaystyle\frac{dt}{dx}=1+\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\displaystyle\frac{x+\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{x^2+1}}=\displaystyle\frac{t}{\sqrt{x^2+1}}
よって、\displaystyle\frac{1}{t}\cdot dt=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\cdot dx
\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\enspace dx=\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{t}\cdot dt\\=\log|t|+C=\log(x+\sqrt{x^2+a})+C
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