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【無限等比級数】収束条件と和|Σ(cosx-sinx)^k

2021年入試問題

【2021名古屋工大(推薦)】

\(0≦x≦2\pi\) を満たす実数 \(x\) と自然数 \(n\) に対して,\(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(\cos x-\sin x)^k}\) と定める.数列 \(\left\{S_{n}\right\}\) が収束する \(x\) の範囲を求め,\(x\) がその範囲にあるときに極限値 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} S_{n}\) を求めよ.

無限等比級数

初項 \(a\) , 公比 \(r\) の無限等比数列 \(\left\{ar^{n-1}\right\}\) から作られる無限級数

\(a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots\)

を,初項 \(a\) , 公比 \(r\) の無限等比級数という.

無限等比級数の収束・発散

無限等比級数 \(a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots\) の収束,発散は,次のようになる.

・\(a\not=0\) のとき

\(| r | < 1\) ならば 収束 し,その和は \(\displaystyle\frac{a}{1-r}\) 

\(| r | ≧ 1\) ならば 発散 する.

・\(a=0\) のとき収束し,その和は \(0\)

つまり,無限等比級数が収束する条件

\(a=0\) または \(-1<r<1\) のときですね!

解答・解説

\(r=\cos x-\sin x\) とおくと,\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} S_{n}\) は初項が \(r\) , 公比が \(r\) の無限等比級数である.

数列 \(\left\{S_{n}\right\}\) が収束するための条件は,

\(r=0\) または \(-1<r<1\)

つまり,\(-1<r<1\) ・・・① のときである.

ここで,

\(r=\sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\pi\right)\) なので①より

\(-1<\sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\pi\right)<1\)

\(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}<\sin\left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\pi\right)<\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(0≦x≦2\pi\) より,\(\displaystyle\frac{3}{4}\pi≦x+\displaystyle\frac{3}{4}\pi≦\displaystyle\frac{11}{4}\pi\) であるから,

\(\displaystyle\frac{3}{4}\pi<x+\displaystyle\frac{3}{4}\pi<\displaystyle\frac{5}{4}\pi\) , \(\displaystyle\frac{7}{4}\pi<x+\displaystyle\frac{3}{4}\pi<\displaystyle\frac{9}{4}\pi\)

よって,\(0<x<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) , \(\pi<x<\displaystyle\frac{3}{2}\pi\)

このとき,

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} S_{n}=\displaystyle\frac{r}{1-r}=\displaystyle\frac{\cos x-\sin x}{1-\cos x+\sin x}\)

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