【2021名古屋工大(推薦)】
\(0≦x≦2\pi\) を満たす実数 \(x\) と自然数 \(n\) に対して，\(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(\cos x-\sin x)^k}\) と定める．数列 \(\left\{S_{n}\right\}\) が収束する \(x\) の範囲を求め，\(x\) がその範囲にあるときに極限値 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} S_{n}\) を求めよ．
無限等比級数
初項 \(a\) , 公比 \(r\) の無限等比数列 \(\left\{ar^{n-1}\right\}\) から作られる無限級数
\(a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots\)
を，初項 \(a\) , 公比 \(r\) の無限等比級数という．
無限等比級数の収束・発散
無限等比級数 \(a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots\) の収束，発散は，次のようになる．
・\(a\not=0\) のとき
\(| r | < 1\) ならば 収束 し，その和は \(\displaystyle\frac{a}{1-r}\)
\(| r | ≧ 1\) ならば 発散 する．
・\(a=0\) のとき収束し，その和は \(0\)
つまり，無限等比級数が収束する条件は
\(a=0\) または \(-1<r<1\) のときですね！
解答・解説
\(r=\cos x-\sin x\) とおくと，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} S_{n}\) は初項が \(r\) , 公比が \(r\) の無限等比級数である．
数列 \(\left\{S_{n}\right\}\) が収束するための条件は，
\(r=0\) または \(-1<r<1\)
つまり，\(-1<r<1\) ・・・① のときである．
ここで，
\(r=\sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\pi\right)\) なので①より
\(-1<\sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\pi\right)<1\)
\(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}<\sin\left(x+\displaystyle\frac{3}{4}\pi\right)<\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(0≦x≦2\pi\) より，\(\displaystyle\frac{3}{4}\pi≦x+\displaystyle\frac{3}{4}\pi≦\displaystyle\frac{11}{4}\pi\) であるから，
\(\displaystyle\frac{3}{4}\pi<x+\displaystyle\frac{3}{4}\pi<\displaystyle\frac{5}{4}\pi\) , \(\displaystyle\frac{7}{4}\pi<x+\displaystyle\frac{3}{4}\pi<\displaystyle\frac{9}{4}\pi\)
よって，\(0<x<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) , \(\pi<x<\displaystyle\frac{3}{2}\pi\)
このとき，
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} S_{n}=\displaystyle\frac{r}{1-r}=\displaystyle\frac{\cos x-\sin x}{1-\cos x+\sin x}\)
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