【問題６】
\(\alpha\) ( \(\alpha\not=0\) ) 、\(\beta\)、\(\gamma\) は複素数とする．複素平面上で、\(\beta\)、\(\gamma\) とが、\(O\) と \(\alpha\) とを通る直線に関して対称な点であるためには、
「\(\overline{\alpha}\gamma=\alpha\overline{\beta}\)」
が必要十分条件であることをしめせ．
ここでは、数学Ⅲで学習する複素数平面について、実践問題(入試問題)を使って、ポイント(考え方)まとめをしていきます。
正直に言いますと、教科書をやっただけでは、入試レベルの問題に対応するのは難しいです。
ですから、教科書と入試レベルの橋渡しとして、過去に出題された入試問題を例に、複素数平面においておさえておきたい(入試でよく出る考え方)をまとめていきます。
基本的な考え方をしっかりと身に付け、２次試験で得点源にできるようにしていきましょう！
複素数の積と点の回転について
解答
\(| \alpha |=1\) としても一般性を失わない．\(arg\alpha=\theta\) とおく．
(※つまり、\(\alpha=\cos \theta+i\sin \theta\) とした．)
\(\beta\)、\(\gamma\) を \(-\theta\) 回転した点はそれぞれ、\(\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}\)、\(\displaystyle\frac{\gamma}{\alpha}\) となる．
\(2\) 点 \(\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}\)、\(\displaystyle\frac{\gamma}{\alpha}\) は、実軸に関して対称であるから、この \(2\) 点は互いに共役な複素数となる．
つまり、\(\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}=\overline{\displaystyle\frac{\gamma}{\alpha}}=\displaystyle\frac{\overline{\gamma}}{\overline{\alpha}}\)
したがって、\(\bar{\alpha}\gamma=\alpha\bar{\beta}\)
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