【2021数学ⅠA(第2日程)】第１問[１](1次不等式)

(１)問題と解答・解説《ア〜カ》

\(|ax-b-7|<3\) ・・・①

\(a=-3\) , \(b=-2\) のとき，①は

\(|-3x-5|<3\) \(\iff\) \(|3x+5|<3\)

よって，\(-3<3x+5<3\)

ゆえに，\(-\displaystyle\frac{8}{3}<x<-\displaystyle\frac{2}{3}\)

これを満たす整数全体の集合 \(P\) は，

\(P=\left\{-2,-1\right\}\) ・・・《ア〜エ》

\(a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) のとき①は，

\(\left|\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}x-b-7\right|<3\)

\(-3<\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}x-b-7<3\)

\((b+4)\sqrt{2}<x<(b+10)\sqrt{2}\) ・・・②

( ⅰ )　\(b=1\) のとき②より

\(5\sqrt{2}<x<11\sqrt{2}\)

\(7<5\sqrt{2}<8\) , \(15<11\sqrt{2}<16\) なので

これを満たす整数は

\(8 , 9 , 10 , \cdots , 14 , 15\) の \(8\) 個・・・《オ》

( ⅱ )　①を満たす整数が全部で \(8+1=9\) 個であるような最小の正の整数 \(b\) を考える．

最小の正の整数 ( さらに問題の括弧を見ると \(1\) 桁の数 ) ですから，

\(b=1 , 2 , 3 , \cdots \) と小さい順に考えていきましょう！

・\(b=1\) のとき，( ⅰ )より不適

・\(b=2\) のとき②より

\(6\sqrt{2}<x<12\sqrt{2}\)

\(8<6\sqrt{2}<9\) , \(16<12\sqrt{2}<17\) なので

これを満たす整数は

\( 9 , 10 , \cdots , 15 , 16\) の \(8\) 個より不適

・\(b=3\) のとき②より

\(7\sqrt{2}<x<13\sqrt{2}\)

\(9<7\sqrt{2}<10\) , \(18<13\sqrt{2}<19\) なので

これを満たす整数は

\( 10 , 11 , \cdots , 17 , 18\) の \(9\) 個となり適する．

したがって，求める \(b\) の値は \(3\) ・・・《カ》