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【2020センター試験】数学ⅡB:第4問ベクトル|内積の計算と四面体の体積

数学(大学入試問題)

【2020数学ⅡB:第4問ベクトル】

(1)問題と解答・解説

(1)解答・解説《ア〜カ》

\(\overrightarrow{OA}=3(1,1,-2)\) より

\(\left|\overrightarrow{OA}\right|=3\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\)\(3\sqrt{6}\) ・・・《アイ》

\(\overrightarrow{OB}=2(1+\sqrt{3},1-\sqrt{3},-2)\) より

\(\left|\overrightarrow{OB}\right|=2\sqrt{(1+\sqrt{3})^2+(1-\sqrt{3})^2+(-2)^2}=\)\(4\sqrt{3}\) ・・・《ウエ》

\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=6\left\{1\times (1+\sqrt{3})+1\times (1-\sqrt{3})+(-2)\times (-2)\right\}=\)\(36\) ・・・《オカ》

(2)問題と解答・解説

(2)解答・解説《キ〜シ》

点 \(C\) は平面 \(\alpha\) 上にあるので,実数 \(s\) , \(t\) を用いて \(\overrightarrow{OC}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\) と表せる.

共面条件の設定は,誘導なしでもできるようにしておきましょう!

過去のセンター試験でも頻出テーマです!確認・演習は⏬

【2016神戸大学】空間ベクトルの一次独立|共線・共面条件[頻出・良問]

\(\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OC}\) , \(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=24\) ・・・① より

\(\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OC}\) \(\iff\) \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=0\)

よって,\(\overrightarrow{OA}\cdot\left(s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\right)=0\)

\(s\left|\overrightarrow{OA}\right|^2+t\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)

\(54s+36t=0\) \(\iff\) \(3s+2t=0\) ・・・( ⅰ )

また, \(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=24\) より

\(\overrightarrow{OB}\cdot\left(s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\right)=24\)

\(s\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+t\left|\overrightarrow{OB}\right|^2=24\)

\(36s+48t=24\) \(\iff\) \(3s+4t=2\) ・・・( ⅰⅰ )

( ⅰ ),( ⅰⅰ )より \(s=\displaystyle\frac{-2}{3}\) , \(t=1\) ・・・《キ〜コ》

したがって,\(\overrightarrow{OC}=\displaystyle\frac{-2}{3}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\) より

\(\left|\overrightarrow{OC}\right|^2=\displaystyle\frac{4}{9}\left|\overrightarrow{OA}\right|^2-\displaystyle\frac{4}{3}\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\left|\overrightarrow{OB}\right|^2=24\)

よって \(\left|\overrightarrow{OC}\right|=2\sqrt{6}\) ・・・《サシ》

(3)問題と解答・解説

(3)解答・解説《ス〜テ》

\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\)

\(=\overrightarrow{OB}-\left(\displaystyle\frac{-2}{3}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)\)

よって,\(\overrightarrow{CB}=\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}\) より

\(\overrightarrow{CB}=\displaystyle\frac{2}{3}(3,3,-6)=\)\((2,2,-4)\) ・・・《ス〜タ》

また,\(\overrightarrow{CB}=\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}\) より

\(\overrightarrow{CB}\) / / \(\overrightarrow{OA}\) であり,\(\left|\overrightarrow{CB}\right|\not=\left|\overrightarrow{OA}\right|\) であるから

四角形 \(OABC\) は ③平行四辺形でないが,台形である・・・《チ》

ここまでに求めた条件から

\(\left(\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OC} ,\left|\overrightarrow{OA}\right|=3\sqrt{6} , \left|\overrightarrow{OC}\right|=2\sqrt{6} , \left|\overrightarrow{CB}\right|=\displaystyle\frac{2}{3}\left|\overrightarrow{OA}\right|=2\sqrt{6} , \overrightarrow{CB} / / \overrightarrow{OA}\right)\)

求める図形は右図のようになる.

したがって,四角形 \(OABC\) の面積は

\(\triangle ABC+\triangle OAC\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{6}+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{6}\cdot 3\sqrt{6}=\)\(36\) ・・・《ツテ》

(4)問題と解答・解説

(4)解答・解説《ト〜ホ》

\(D ( x , y , 1 )\) とおく.

\(\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OD}\) より \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}=0\)

\(\iff\) \(3(x+y-2=0)\)

よって,\(x+y=2\) ・・・(※)

また,\(\overrightarrow{OC}=\displaystyle\frac{-2}{3}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\) より

\(\overrightarrow{OC}=\displaystyle\frac{-2}{3}(3,3,-6)+(2+2\sqrt{3},2-2\sqrt{3},-4)\)

\(=2\sqrt{3}(1,-1,0)\) であり,

\(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}=2\sqrt{6}\) より

\(2\sqrt{6}(x-y)=2\sqrt{6}\)

よって,\(x-y=\sqrt{2}\) ・・・(※※)

(※),(※※) より \(x=\displaystyle\frac{2+\sqrt{2}}{2}\) , \(y=\displaystyle\frac{2-\sqrt{2}}{2}\)

したがって,\(D\left(1+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} , 1-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} , 1\right)\) ・・・《ト〜ノ》

次に,\(\left|\overrightarrow{OD}\right|^2=\left(1+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(1-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+1^2=4\)

よって,\(\left|\overrightarrow{OD}\right|=2\)

また,\(\left|\overrightarrow{OC}\right|=2\sqrt{6}\) , \(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}=2\sqrt{6}\) より

\(\cos \angle COD=\displaystyle\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\times 2}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(\cos \angle COD = 60°\) ・・・《ハヒ》

また左図より,

求める四面体の高さは

\(2\sin 60°=\) \(\sqrt{3}\) ・・・《フ》

以上より,求める体積は

\(\displaystyle\frac{1}{3}\times \triangle ABC \times \sqrt{3}=\) \(4\sqrt{3}\) ・・・《ヘホ》

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