【2002神戸大学・文系・第３問】
次の問に答えよ．
(１) 方程式
\(x^2+y^2+ax+by+3c=0\)
が円を表すための \(a\) , \(b\) , \(c\) の条件を求めよ．
(２) 一つのサイコロを \(2\) 回振って出た目の数を，順に \(a\) , \(b\) とする．\(c=1\) とするとき， \(a\) , \(b\) の組が (１) の条件をみたす場合の数は何通りあるか．
(３) 一つのサイコロを \(3\) 回振って出た目の数を，順に \(a\) , \(b\) , \(c\) とする．\(a\) , \(b\) , \(c\) が (１) の条件をみたす確率を求めよ．
解答・解説
(１)
\(x^2+y^2+ax+by+3c=0\) より
\(\left(x+\displaystyle\frac{a}{2}\right)^2+\left(y+\displaystyle\frac{b}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{a^2+b^2-12c}{4}\)
これが円を表すための条件は，
\(\displaystyle\frac{a^2+b^2-12c}{4}>0\)
よって，\(a^2+b^2>12c\)
(２)
\(c=1\) のとき，(１)より
\(a^2+b^2>12\)
\(a\) , \(b\) のそれぞれのサイコロの目に対して，\(a^2+b^2\) の値は次の表のようになる．
| a＼b | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 5 | 10 | 17 | 26 | 37 |
| 2 | 5 | 8 | 13 | 20 | 29 | 40 |
| 3 | 10 | 13 | 18 | 25 | 34 | 45 |
| 4 | 17 | 20 | 25 | 32 | 41 | 52 |
| 5 | 26 | 29 | 34 | 41 | 50 | 61 |
| 6 | 37 | 40 | 45 | 52 | 61 | 72 |
よって条件を満たす \(a\) , \(b\) の組は，\(30\) 通り
(３)
( Ⅰ ) \(c=1\) のとき
(２)より \(a\) , \(b\) の組は \(30\) 通り
( Ⅱ ) \(c=2\) のとき
条件は \(a^2+b^2>24\) であり，(２) の表より
\(a\) , \(b\) の組は \(23\) 通り
( Ⅲ ) \(c=3\) のとき
条件は \(a^2+b^2>36\) であり，(２) の表より
\(a\) , \(b\) の組は \(14\) 通り
( Ⅳ ) \(c=4\) のとき
条件は \(a^2+b^2>48\) であり，(２) の表より
\(a\) , \(b\) の組は \(6\) 通り
( Ⅴ ) \(c=5\) のとき
条件は \(a^2+b^2>60\) であり，(２) の表より
\(a\) , \(b\) の組は \(3\) 通り
( Ⅵ ) \(c=6\) のとき
条件は \(a^2+b^2>72\) であり，(２) の表より
\(a\) , \(b\) の組は \(0\) 通り
以上から，条件を満たす \(a\) , \(b\) , \(c\) の組は
\(30+23+14+6+3+0=76\) 通り
したがって求める確率は，\(\displaystyle\frac{76}{6^3}=\displaystyle\frac{19}{54}\)
コメント