【神戸大・医】
(１) \(x>0\) のとき，\(1\) より大きい自然数 \(n\) について，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\((1+x)^n≧1+nx+\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}x^2\)
(２) \(1\) より大きい自然数 \(n\) について，
\((1+n)^{\frac{1}{n}}=1+a_{n}\) とするとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\(1≧a_{n}+\displaystyle\frac{n-1}{2}a_{n}^2\)
(３) (２)の結果を用いて，次の極限値を求めよ．
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(1+n)^{\frac{1}{n}}\)
考え方
二項展開(二項定理の利用)
二項定理
\(\boldsymbol{(a+b)^{n}=_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{0}a^{n}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{1}a^{n-1}b+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n-1}ab^{n-1}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n}b^{n}}\)
において，\(a=1 , b=x\) とした形ですね！よく使いますので覚えておきましょう！
はさみうちの原理
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\alpha\) ，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}= \beta\) とする．
すべての \(n\) について，\(a_{n}≦c_{n}≦b_{n}\) かつ \(\alpha=\beta\) ならば
数列 \(\left\{c_{n}\right\}\) は収束し，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}c_{n}=\alpha \)
直接的に極限値が求められないとき，極限値が求められる評価式を与えることで，与式の極限値を求めることができます！
解答・解説
(１)二項展開
\((1+x)^n=_{n}C_{0}+_{n}C_{1}x+_{n}C_{2}x^2+\cdots+_{n}C_{n}x^n\) であり，\(x>0\) から
\((1+x)^n≧_{n}C_{0}+_{n}C_{1}x+_{n}C_{2}x^2=1+nx+\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}x^2\)
(２)
\((1+n)^{\frac{1}{n}}=1+a_{n}\) より，\(a_{n}>0\) となる．
よって(１)より，
\(1+n=(1+a_{n})^n≧1+na_{n}+\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}a_{n}^2\)
よって，\(n≧na_{n}+\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}a_{n}^2\)
両辺を \(n\) で割ると
\(1≧a_{n}+\displaystyle\frac{n-1}{2}a_{n}^2\) が成立．
(３)はさみうちの原理
\(a_{n}>0\) より(２)から
\(1≧a_{n}+\displaystyle\frac{n-1}{2}a_{n}^2>\displaystyle\frac{n-1}{2}a_{n}^2\)
つまり，\(1>\displaystyle\frac{n-1}{2}a_{n}^2\)
よって，\(0<a_{n}<\sqrt{\displaystyle\frac{2}{n-1}}\) ( \(n≧2\) より )
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{\displaystyle\frac{2}{n-1}}=0\) より，はさみうちの原理から
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0\)
したがって，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+n)^{\frac{1}{n}}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (1+a_{n})=1\)
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