【2020一橋大学・第１問】
(１) \(10^{10}\) を \(2020\) で割った余りを求めよ．
(２) \(100\) 桁の正の整数で各位の数の和が \(2\) となるもののうち、\(2020\) で割り切れるものの個数を求めよ．
(１) 考え方・解答
考え方(合同式の利用)
大きい数の余りに関する問題ですので、合同式を利用することが有効な手段になります。
合同式について不安な方、学習していない方は、
を参考にまず合同式をマスターしましょう！
合同式は整数問題を扱う上で必須アイテムです！大学の難易度に関わらず、合同式が使えるかどうかで解答の楽さが大きく変わります。
\(2020\times 5=10100=10^4+10^2\) より
\(10^4=2020\times 5-10^2\) であることから
\(10^4≡-10^2\) ( mod 2020 ) が言える．
これを利用して(１)を処理
解答
\(2020\times 5=10100=10^4+10^2\) より
\(10^4=2020\times 5-10^2\) であることから、
以下すべて mod 2020 として考えると、
\(10^4≡-10^2\) ・・・①
よって、①を利用すると
\(10^{10}=10^2\times (10^4)^2≡10^2\times (-10^2)^2≡10^6\)
同様に
\(10^{6}=10^2\times 10^4≡10^2\times (-10^2)=-10^4≡10^2\) ・・・②
したがって、\(10^{10}≡10^2\) ・・・③
\(10^{10}\) を \(2020\) で割った余りは \(100\)
(２) 考え方・解答
考え方(整数問題の極意は実験)
方針が見えなければ、分かりやすい例を用いて実験！これが整数問題の極意です。
実験の中から、規則や法則を見つけ、解答を作成していきます！
(１)の結果から・・・
(１)の①～③より、
\(10^4≡-10^2\)、\(10^{6}≡10^2\)、\(10^{10}≡10^2\)
何か規則がありそうな感じはしませんか？？
ちなみに、\(10^8＝(10^4)^2≡(-10^2)^2=10^4≡-10^2\)
小さい例で実験
(２)の問題では \(100\) 桁と数が大きすぎるので、とりあえずイメージを持ちやすいように、
『 \(5\) 桁の正の整数で各位の数の和が \(2\) となるもの 』について考えてみます。
\(5\) 桁の正の整数で各位の和が \(2\) となるものは、
\(20000\)、\(11000\)、\(10100\)、\(10010\)、\(10001\) のいずれか。
(ア) 最高位が \(2\) のとき
\(20000=2\times 10^4\) であるから、
今回の問題の \(100\) 桁の場合であれば、\(2\times 10^{99}\) と表すことが出来ます。
(イ) 最高位が \(1\) のとき
\(11000\)、\(10100\)、\(10010\)、\(10001\) はそれぞれ、
\(10^4+10^3\)、\(10^4+10^2\)、\(10^4+10^1\)、\(10^4+10^0\) であるから、
\(100\) 桁の場合であれば、\(10^{99}+10^k\) ( \(k = 0 , 1 , 2 , \cdots , 98\) ) と表すことが出来ます。
解答
(１)の結果から、\(n\) を自然数とするとき、
\(10^{4n}≡-10^2\) ・・・(※) が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する．
(ⅰ) \(n=1\) のとき
(１)より\(10^{4}≡-10^2\) であるから成り立つ．
(ⅱ) \(n=k\) のとき、(※)が成り立つと仮定する
つまり、\(10^{4k}≡-10^2\) ・・・(☆)
このとき、
\(10^{4(k+1)}=10^{4k}\times 10^4\) であるから、仮定の(☆)より、
\(10^{4(k+1)}≡(-10^2)\times (-10^2)=10^4≡-10^2\)
したがって、\(n=k+1\) でも成り立つ
(ⅰ)、(ⅱ)より、すべての自然数 \(n\) で(※)が成り立つ．
次に、\(100\) 桁の正の整数で各位の数の和が \(2\) となるものは
(ア) 最高位が \(2\) のとき
(イ) 最高位が \(1\) のとき
のいずれかである．
また、以下すべて mod 2020 として考える．
(ア)のとき、\(2\times 10^{99}\) と表すことができる．
ここで、\(10^{99}=10^3\times 10^{4\times 24}≡10^3\times (-10^2)=-10^5≡-10\times (-10^2)=10^3\)
したがって、\(2\times 10^{99}≡2\times 10^3=2000\) となり、\(2020\) では割り切れない
(イ)のとき \(k = 0 , 1 , 2 , \cdots , 98\) として、
\(10^{99}+10^k\) と表すことができる．
(ア)の結果より、\(10^{99}≡10^3\) であるから、
\(10^{99}+10^k\) が \(2020\) で割り切れるためには、
\(10^k≡-10^3\) とならなければいけない．
\(10^{4n}≡-10^2\) であるあら、両辺を \(10\) 倍し、
\(10^{4n+1}≡-10^3\)
したがって、\(k = 0 , 1 , 2 , \cdots , 98\) において、
\(k＝4n+1\) を満たすものを考えればよいので
これを満たす自然数 \(n\) は
\(n = 1 , 2 , 3 , \cdots , 24\)
以上から、求める個数は \(24\) 個
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