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【合同式・整数問題】2020一橋大学・第1問|10の10乗を2020で割った余り

数学(大学入試問題)

【2020一橋大学・第1問】

(1) \(10^{10}\) を \(2020\) で割った余りを求めよ.

(2) \(100\) 桁の正の整数で各位の数の和が \(2\) となるもののうち、\(2020\) で割り切れるものの個数を求めよ.

(1) 考え方・解答

考え方(合同式の利用)

大きい数の余りに関する問題ですので、合同式を利用することが有効な手段になります。

合同式について不安な方、学習していない方は、

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習

を参考にまず合同式をマスターしましょう!

合同式は整数問題を扱う上で必須アイテムです!大学の難易度に関わらず、合同式が使えるかどうかで解答の楽さが大きく変わります。

\(2020\times 5=10100=10^4+10^2\) より

\(10^4=2020\times 5-10^2\) であることから

\(10^4≡-10^2\) ( mod 2020 ) が言える.

これを利用して(1)を処理

 

解答

\(2020\times 5=10100=10^4+10^2\) より

\(10^4=2020\times 5-10^2\) であることから、

以下すべて mod 2020 として考えると、

\(10^4≡-10^2\) ・・・①

よって、①を利用すると

\(10^{10}=10^2\times (10^4)^2≡10^2\times (-10^2)^2≡10^6\)

同様に

\(10^{6}=10^2\times 10^4≡10^2\times (-10^2)=-10^4≡10^2\) ・・・②

したがって、\(10^{10}≡10^2\) ・・・③

\(10^{10}\) を \(2020\) で割った余りは \(100\)

(2) 考え方・解答

考え方(整数問題の極意は実験)

方針が見えなければ、分かりやすい例を用いて実験!これが整数問題の極意です。

実験の中から、規則や法則を見つけ、解答を作成していきます!

 

(1)の結果から・・・

(1)の①~③より、

\(10^4≡-10^2\)、\(10^{6}≡10^2\)、\(10^{10}≡10^2\)

何か規則がありそうな感じはしませんか??

ちなみに、\(10^8=(10^4)^2≡(-10^2)^2=10^4≡-10^2\)

 

小さい例で実験

(2)の問題では \(100\) 桁と数が大きすぎるので、とりあえずイメージを持ちやすいように、

『 \(5\) 桁の正の整数で各位の数の和が \(2\) となるもの 』について考えてみます。

\(5\) 桁の正の整数で各位の和が \(2\) となるものは、

\(20000\)、\(11000\)、\(10100\)、\(10010\)、\(10001\) のいずれか。

(ア) 最高位が \(2\) のとき

\(20000=2\times 10^4\) であるから、

今回の問題の \(100\) 桁の場合であれば、\(2\times 10^{99}\) と表すことが出来ます。

(イ) 最高位が \(1\) のとき

\(11000\)、\(10100\)、\(10010\)、\(10001\) はそれぞれ、

\(10^4+10^3\)、\(10^4+10^2\)、\(10^4+10^1\)、\(10^4+10^0\) であるから、

\(100\) 桁の場合であれば、\(10^{99}+10^k\)  ( \(k = 0 , 1 , 2 , \cdots , 98\) ) と表すことが出来ます。

解答

(1)の結果から、\(n\) を自然数とするとき、

\(10^{4n}≡-10^2\) ・・・(※) が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する.

(ⅰ) \(n=1\) のとき

(1)より\(10^{4}≡-10^2\) であるから成り立つ.

(ⅱ) \(n=k\) のとき、(※)が成り立つと仮定する

つまり、\(10^{4k}≡-10^2\) ・・・(☆)

このとき、

\(10^{4(k+1)}=10^{4k}\times 10^4\) であるから、仮定の(☆)より、

\(10^{4(k+1)}≡(-10^2)\times (-10^2)=10^4≡-10^2\)

したがって、\(n=k+1\) でも成り立つ

(ⅰ)、(ⅱ)より、すべての自然数 \(n\) で(※)が成り立つ.

 

次に、\(100\) 桁の正の整数で各位の数の和が \(2\) となるものは

(ア) 最高位が \(2\) のとき

(イ) 最高位が \(1\) のとき

のいずれかである.

また、以下すべて mod 2020 として考える.

 

(ア)のとき、\(2\times 10^{99}\) と表すことができる.

ここで、\(10^{99}=10^3\times 10^{4\times 24}≡10^3\times (-10^2)=-10^5≡-10\times (-10^2)=10^3\)

したがって、\(2\times 10^{99}≡2\times 10^3=2000\) となり、\(2020\) では割り切れない

 

(イ)のとき \(k = 0 , 1 , 2 , \cdots , 98\) として、

\(10^{99}+10^k\) と表すことができる.

(ア)の結果より、\(10^{99}≡10^3\) であるから、

\(10^{99}+10^k\) が \(2020\) で割り切れるためには、

\(10^k≡-10^3\) とならなければいけない.

\(10^{4n}≡-10^2\) であるあら、両辺を \(10\) 倍し、

\(10^{4n+1}≡-10^3\)

したがって、\(k = 0 , 1 , 2 , \cdots , 98\) において、

\(k=4n+1\) を満たすものを考えればよいので

これを満たす自然数 \(n\) は

\(n = 1 , 2 , 3 , \cdots , 24\)

以上から、求める個数は \(24\) 個

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