【1993京都大学】Pから双曲線に引いた2つの接線。2接点とPで囲まれた三角形の面積の最小

双曲線の接線

解答・解説

双曲線 \(x^2-y^2=1\) 上の点 \((x_{1},y_{1})\) における接線の方程式は

\(x_{1}x-y_{1}y=1\) ・・・①

①が \(P(0,p)\) を通るとき \(-y_{1}p=1\)

\(p>0\) より \(y_{1}=-\displaystyle\frac{1}{p}\) ・・・②

また，点 \((x_{1},y_{1})\) は双曲線 \(x^2-y^2=1\) 上より

\(x_{1}^2-y_{1}^2=1\) ・・・③

②を③に代入すると

\(x_{1}^2-\displaystyle\frac{1}{p^2}=1\)

\(x_{1}=\pm\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{p^2}}\)

よって，\(A\left(-\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{p^2}},-\displaystyle\frac{1}{p}\right)\)，\(B\left(\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{p^2}},-\displaystyle\frac{1}{p}\right)\)

ゆえに \(\triangle PAB\) の面積を \(S\) とすると

\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{p^2}}\cdot\left(p+\displaystyle\frac{1}{p}\right)=\displaystyle\frac{(p^2+1)^\frac{3}{2}}{p^2}\)

この式を微分して最小値を求めても構いませんが，やや計算が複雑に・・・。

そこで適切な置き換え・変形を行い，計算を楽にする一工夫を！

ここで，\(t=p^2\) ( \(t>0\) ) とおくと

\(S=\displaystyle\frac{(t+1)^\frac{3}{2}}{t}\)

\(f(t)=S^2=\displaystyle\frac{(t+1)^3}{t^2}\) とおく

\(f^{\prime}(t)=\displaystyle\frac{3(t+1)^2\cdot t^2-(t+1)^3\cdot 2t}{t^4}=\displaystyle\frac{(t+1)^2(t-2)}{t^3}\)

\(t=2\) で \(S^2\) は最小値

つまり，\(p^2=2\)

\(p>0\) より \(p=\sqrt{2}\) のとき \(S\) は最小となる．