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【漸化式7】n振分け型(階差数列の利用)|解法パターン|数学B数列

数学(大学入試問題)

【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ.

7.\(a_{1}=0\),\(a_{n+1}=2a_{n}+2n-2\)

漸化式は完全暗記もの!

数学が得意不得意に関わらず,ただただパターンを覚えてなければできるようになりません!

特にパターン5以降は,初めの1手を知っているかどうか,その1手さえ突破できれば,あとは基本のパターン1〜4に帰着します。

パターン7. \(a_{n+1}=pa_{n}+\)( \(n\) の 1 次式 )

※ \(p=1\) のとき,階差数列型(パターン3) になります。

ここでは \(p≠1\) について考えます.また, \(n\) の 1 次式について扱いますが,2 , 3 , ・・・次式となっても,基本的には同様に扱うことができます。(計算は大変ですが・・・)

解法Ⅰ.振分けタイプ

\(a_{n+1}=pa_{n}+\)( \(n\) の 1 次式 ) ( \(p ≠ 1\) )

👉 \(a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=p(a_{n}+\alpha n+\beta)\)

※ 2012年センター試験にてこちらの解法の誘導で出題されました。この後に紹介する方法の方が解法としては有名かもしれませんが,入試ではどのような誘導形式で出題れる分かりませんので,様々な解法を経験しておきましょう!

7.\(a_{1}=0\),\(a_{n+1}=2a_{n}+2n-2\)

【考え方】

\(a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_{n}+\alpha n+\beta)\) ・・・①

① を満たす \(\alpha\) , \(\beta\) を見つける

\(a_{n+1}+\alpha n+\alpha+\beta=2a_{n}+2\alpha n+2\beta\)

よって,\(a_{n+1}=2a_{n}+\alpha n-\alpha+\beta\) ・・・②

②と与式を比べると,

\(\begin{cases}\alpha=2\\-\alpha+\beta=-2\end{cases}\) \(\iff\) \(\begin{cases}\alpha=2\\\beta=0\end{cases}\)

ここで求めた\(\alpha\),\(\beta\) を①に代入する

ここまでは記述は不要

\(a_{n+1}=2a_{n}+2n-2\)

\(\iff\) \(a_{n+1}+2(n+1)=2(a_{n}+2n)\)

数列 \(\left\{ a_{n}+2n \right\}\) は,初項が \(a_{1}+2=2\) , 公比が \(2\) の等比数列であるから,

\(a_{n}+2n=2\cdot 2^{n-1}\)

したがって,\(a_{n}=2^n-2n\)

参考:\(a_{n+1}=pa_{n}+\)( \(n\) の 2 次式 )

\(a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=p(a_{n}+\alpha n+\beta)\) ・・・①とおいたのは,

与式を等比数列の形に変形することが目的です!

パターン4の隣接二項間特性方程式のタイプも,特性方程式を解くことで等比数列の形に変形しています。漸化式の解法の原則は,「等比数列の形に変形する」であることを知っておきましょう!

この考え方がしっかりと身につけば,

\(a_{n+1}=pa_{n}+(n\) の \(2\) 次式) の場合,

\(a_{n+1}+\alpha(n+1)^2+\beta (n+1)+\gamma=p(a_{n}+\alpha n^2+\beta n+\gamma)\)

を満たす \(\alpha\),\(\beta\),\(\gamma\) を見つければ良い

解法Ⅱ.階差数列の利用

『 \(n+1\) を代入した式』と『 \(n\) を代入した式』の差をとって置き換え
👉 階差数列型に帰着
この解法は,漸化式全般に応用ができる万能な解法になります。
しかしデメリットとして,計算量が多くなる傾向が・・・。
7.\(a_{1}=0\),\(a_{n+1}=2a_{n}+2n-2\)

\(a_{n+1}=2a_{n}+2n-2\) ・・・(ア)

(ア)において, \(n\) を \(n+1\) とすると,

\(a_{n+2}=2a_{n+1}+2(n+1)-2\)

\(\iff\) \(a_{n+2}=2a_{n+1}+2n\) ・・・(イ)

(イ) ー (ア) より

\(\a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_{n})+2)

ここで \(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\) とおくと

\(b_{1}=a_{2}-a_{1}=(2a_{1}+2-2)-a_{1}=0\) ,

\(b_{n+1}=2b_{n}+2\)

パターン4:隣接二項間特性方程式型に帰着した!

この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう!

\(\alpha=2\alpha+2\) \(\iff\) \(\alpha=-2\) より

\(b_{n+1}+2=2(b_{n}+2)\)

数列 \(\left\{ b_{n}+2 \right\}\) は,初項が \(b_{1}+2=2\) , 公比が \(2\) の等比数列であるから,

\(b_{n}+2=2\cdot 2^{n-1}\) \(\iff\) \(b_{n}=2^n-2\)

よって,\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\) より

\(a_{n+1}-a_{n}=2^n-2\)

パターン3:階差数列型に帰着した!

この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう!

\(n≧2\) のとき

\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{(2^k-2)}\)

\(=\displaystyle\frac{2\cdot(2^{n-1}-2)}{2-1}-2(n-1)=2^n-2n\)

\(n=1\) のとき,\(a_{1}=2-2=0\) となり成立

したがって,\(a_{n}=2^n-2n\)

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