【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．
７．\(a_{1}=0\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+2n-2\)
漸化式は完全暗記もの！
数学が得意不得意に関わらず，ただただパターンを覚えてなければできるようになりません！
特にパターン５以降は，初めの１手を知っているかどうか，その１手さえ突破できれば，あとは基本のパターン１〜４に帰着します。
パターン7． \(a_{n+1}=pa_{n}+\)( \(n\) の 1 次式 )
※ \(p=1\) のとき，階差数列型(パターン3) になります。
ここでは \(p≠1\) について考えます．また， \(n\) の 1 次式について扱いますが，2 , 3 , ・・・次式となっても，基本的には同様に扱うことができます。(計算は大変ですが・・・)
解法Ⅰ．振分けタイプ
\(a_{n+1}=pa_{n}+\)( \(n\) の 1 次式 ) ( \(p ≠ 1\) )
👉 \(a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=p(a_{n}+\alpha n+\beta)\)
※ 2012年センター試験にてこちらの解法の誘導で出題されました。この後に紹介する方法の方が解法としては有名かもしれませんが，入試ではどのような誘導形式で出題れる分かりませんので，様々な解法を経験しておきましょう！
\(a_{n+1}=2a_{n}+2n-2\)
\(\iff\) \(a_{n+1}+2(n+1)=2(a_{n}+2n)\)
数列 \(\left\{ a_{n}+2n \right\}\) は，初項が \(a_{1}+2=2\) , 公比が \(2\) の等比数列であるから，
\(a_{n}+2n=2\cdot 2^{n-1}\)
したがって，\(a_{n}=2^n-2n\)
参考：\(a_{n+1}=pa_{n}+\)( \(n\) の 2 次式 )
\(a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=p(a_{n}+\alpha n+\beta)\) ・・・①とおいたのは，
与式を等比数列の形に変形することが目的です！
パターン４の隣接二項間特性方程式のタイプも，特性方程式を解くことで等比数列の形に変形しています。漸化式の解法の原則は，「等比数列の形に変形する」であることを知っておきましょう！
この考え方がしっかりと身につけば，
\(a_{n+1}=pa_{n}+(n\) の \(2\) 次式) の場合，
\(a_{n+1}+\alpha(n+1)^2+\beta (n+1)+\gamma=p(a_{n}+\alpha n^2+\beta n+\gamma)\)
を満たす \(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\) を見つければ良い
解法Ⅱ．階差数列の利用
\(a_{n+1}=2a_{n}+2n-2\) ・・・(ア)
(ア)において， \(n\) を \(n+1\) とすると，
\(a_{n+2}=2a_{n+1}+2(n+1)-2\)
\(\iff\) \(a_{n+2}=2a_{n+1}+2n\) ・・・(イ)
(イ) ー (ア) より
\(\a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_{n})+2)
ここで \(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\) とおくと
\(b_{1}=a_{2}-a_{1}=(2a_{1}+2-2)-a_{1}=0\) ,
\(b_{n+1}=2b_{n}+2\)
パターン４：隣接二項間特性方程式型に帰着した！
この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう！
\(\alpha=2\alpha+2\) \(\iff\) \(\alpha=-2\) より
\(b_{n+1}+2=2(b_{n}+2)\)
数列 \(\left\{ b_{n}+2 \right\}\) は，初項が \(b_{1}+2=2\) , 公比が \(2\) の等比数列であるから，
\(b_{n}+2=2\cdot 2^{n-1}\) \(\iff\) \(b_{n}=2^n-2\)
よって，\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\) より
\(a_{n+1}-a_{n}=2^n-2\)
パターン３：階差数列型に帰着した！
この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう！
\(n≧2\) のとき
\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{(2^k-2)}\)
\(=\displaystyle\frac{2\cdot(2^{n-1}-2)}{2-1}-2(n-1)=2^n-2n\)
\(n=1\) のとき，\(a_{1}=2-2=0\) となり成立
したがって，\(a_{n}=2^n-2n\)
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