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【頻出】通過領域・逆像法(逆手流)《考え方》

数学(大学入試問題)

【問題①】

直線 \(l\) を \(y=2ax-a^2\) とする.

\(a\) がすべての実数値をとって変化するとき、直線 \(l\) が通過する領域を図示せよ.

【問題②】

\(t\) が、 \(t≧0\) の実数を満たすとき、

直線 \(y=tx-t^2 +1=0\) が通過する領域を図示せよ.

※下に練習問題として「2010大阪大学」、「2015横浜国立大学」の問題あり

はじめに

数学Ⅱ(図形と方程式)の分野で超有名かつ重要・頻出問題の1つである通過領域問題について、「考え方」を中心にお話ししていきます。模範解答を見て、ただ解法を覚えるだけでは、少し問題をひねられると対応できなくなります。しっかりとした考え方を学び、応用できるように!

【問題①】

直線 \(l\) を \(y=2ax-a^2\) とする.

\(a\) がすべての実数値をとって変化するとき、直線 \(l\) が通過する領域を図示せよ.

考え方・思考の仕方

具体的な値で実験してみよう!

例①

直線 \(l\) は 点\(( 2 , -5 )\) を通るのか?

直線 \(l\) に 点\(( 2 , -5 )\) を試に代入してみると、

\(-5=4a-a^2\)

\(a^2-4a-5=0\)

\((a-1)(a+5)=0\)

\(a=-1 , 5\)

☞ \(a=-1 または 5\) とすると、直線 \(l\) は 点\(( 2 , -5 )\) を通る

例②

直線 \(l\) は 点\(( 3 , 10 )\) を通るのか?

直線 \(l\) に 点\(( 3 , 10 )\) を試に代入してみると、

\(10=6a-a^2\)

\(a^2-6a+10=0\)

\(a=3±i\) となり、実数解をもたない

☞ 実数 \(a\) が存在しないため、直線 \(l\) は 点\(( 3 , 10 )\) を通らない

一般化して考える

直線 \(l\) は 点\(( x , y )\) を通るのか?

直線 \(l\) に 点\(( x , y )\) を試に代入してみると、

\(y=2ax-a^2\)

\(a^2-2xa+y=0\)・・・①

○ 少なくとも1つ実数解 \(a\) が存在

→ 通過する

○ 実数解 \(a\) が存在しない

→ 通過しない

①は \(a\) の2次関数と見ることができ、①が実数解を持てばよいので、

(①の判別式) \(≧0\) となればよい

【問題①の解答】

\(y=2ax-a^2\) より

\(a^2-2xa+y=0\)・・・①

①を満たす実数解 \(a\) が少なくとも1つ存在すればよいので、

(①の判別式) \(≧0\) を満たせばよい.

よって

(①の判別式) \(=(-2x)^2-4y ≧ 0\)

したがって \(y≦x^2\)

求める領域は、右図の斜線部で、境界線を含む.

【問題②】

\(t\) が、 \(t≧0\) の実数を満たすとき、

直線 \(y=tx-t^2 +1=0\) が通過する領域を図示せよ.

考え方・思考の仕方

基本的な考え方は、問題①と同様.

問題①との違いは、「\(t≧0\)」という範囲があるかどうか.

\(t≧0\) において

\(t^2-xt+y-1=0\) が

少なくとも1つ実数解を持てばよい.

ある範囲で実数解を持つ
👉解の配置(分離)の問題[2次関数の重要テーマの1つ]
解の配置(分離)が心配な方は、「【頻出】2次関数の解の配置(分離)問題」を確認してください.

【問題②の解答】

\(f(t)= t^2-xt+y-1\) とおく.

軸は \(t=\displaystyle\frac{x}{2}\) より

 

(ⅰ) \(軸 ≦ 0\) のとき

\( \displaystyle\frac{x}{2}≦0\)

つまり \(x≦0\) のとき

\(f(0)≦0\) を満たせばよい

よって \(f(0)=y-1≦0\)

\(y≦1\)

 

(ⅱ) \(軸 ≧ 0\) のとき

\( \displaystyle\frac{x}{2}≧0\)

つまり \(x≧0\) のとき

\(f(0)=0\) の判別式をDとすると

\(D≧0\) を満たせばよい

よって \(D=x^2-4(y-1)≧0\)

\(y≦\displaystyle\frac{x^2}{4}+1\)

(ⅰ)、(ⅱ)より求める領域は、右図の斜線部で、境界線を含む.

 

これまでの考え方を踏まえ、下の練習問題(大学受験の問題)にチャレンジしましょう!

練習問題(2010大阪大、2015横浜国立大)

【練習①】2010大阪大学(文系の一部)

曲線C:\(y=-x^2-1\) を考える.

\(t\) が実数全体を動くとき,曲線C上の点(\(t\),\(-t^2-1\) を頂点とする放物線

\(y=\displaystyle\frac{3}{4}(x-t)^2-t^2-1\)

が通過する領域を \(xy\) 平面上に図示せよ.

 

【練習②】2015横浜国立大学

実数 \(a\) に対し,平面上の放物線C:\(y=(x-a)^2-2a^2+1\) を考える.次の問に答えよ.

(1) \(a\) がすべての実数を動くとき,Cが通過する領域を求め,図示せよ.

(2) \(a\) が \(-1≦a≦1\) の範囲を動くとき,Cが通過する領域を求め,図示せよ.

【練習①解答】2010大阪大学

\(y=\displaystyle\frac{3}{4}(x-t)^2-t^2-1\) より

\(t^2+6xt-3x^2+4y+4=0\) ・・・ ①

①が実数解を少なくとも1つ持てばよいので,

\(\displaystyle\frac{(①の判別式)}{4} = (3x)^2-(-3x^2+4y+4)≧0\)

\(y≦3x^2-1\)

したがって求める領域は、右図の斜線部で、境界線を含む.

【練習②解答】2015横浜国立大学

(1) \(y=(x-a)^2-2a^2+1\) より

\(a^2+2xa+y-x^2-1=0\) ・・・ ①

①が実数解を少なくとも1つ持てばよいので,

\(\displaystyle\frac{(①の判別式)}{4} = x^2-( y-x^2-1)≧0\)

よって\(y≦2x^2+1\)

したがって求める領域は、右図の斜線部で、境界線を含む.

 

(2) \(f(a)=a^2+2xa+y-x^2-1\) とおく.

\(f(a)=(a+x)^2-2x^2+y-1\)

①が,\(-1≦a≦1\) に少なくとも1つ実数解をもつ条件を考えればよい.

 

(ⅰ) \(-1≦a≦1\) に2実解(重解を含む)をもつとき

・\((①の判別式)≧0\)

・\(-1≦軸≦1\)

・\(f(-1)≧0\)

・\(f(1)≧0\) を満たせばよい.

 

それぞれ計算すると

・\(y≦2x^2+1\)

・\(-1≦x≦1\)

・\(y≧(x-1)^2-1\)

・\(y≧(x+1)^2-1\)

 

(ⅱ) \(-1≦a≦1\) に1実解(重解を除く)をもつとき

・\(f(-1)≧0\) かつ \(f(1)≦0\)

または

・\(f(-1)≦0\) かつ \(f(1)≧0\)

[ ※ \(f(-1) \times f(1)≦0\) とまとめて処理することが一般的 ]

 

それぞれ計算すると。

・\(y≧(x-1)^2-1\) かつ \(y≦(x+1)^2-1\)

または

・\(y≦(x-1)^2-1\) かつ \(y≧(x+1)^2-1\)

(ⅰ)、(ⅱ)より求める領域は、右図の斜線部で、境界線を含む.

 

2021 大阪市立大学[文系第3問]通過領域(逆像法・逆手流)
差がつく良問。受験数学では有名・頻出テーマの通過領域。数学Ⅱ。入試問題演習。
【差がつく】正領域と負領域の例題と考え方|数学Ⅱ:図形と方程式
直線と線分が交わるための条件範囲について。数学Ⅱの4STEPの問題を例題として正領域・負領域について考え方を説明。差がつく重要入試問題。2次試験対策、難関大学対策。


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