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【2010京都教育大学】x^2-x-(a^2+5)=0を満たす自然数a、x

数学(大学入試問題)

【2010京都教育大学】

\(a\)、\(x\) を自然数とする.

\(x^2-x-(a^2+5)=0\) をみたす \(a\)、\(x\) の組を全て求めよ.

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

この3つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください!

 

必要性で考えて、十分性の確認

『自然数の解をもつ ⇒ 実数解をもつ』
※逆は成り立たないため、最後に答えのチェック(十分性の確認)が必要

本問は \(2\) 次方程式であること、『整数解をもつ ⇒ 実数解をもつ』と考えることができるので、

判別式 \(D≧0\) で値の絞り込みは出来ないかと考えてみる

 

\(x^2-x-(a^2+5)=0\) の判別式を \(D\) とすると、

\(D=(-1)^2+4(a^2+5)=4a^2+21>0\) となり、常に実数解を持つことはわかったが、残念ながら範囲は絞れていないため、判別式を使うだけでは失敗!

そこで、解の公式をとると、

\(x=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{4a^2+21}}{2}\) ・・・①

①が自然数となるためには、\(\sqrt{4a^2+21}\) が整数となる必要がある

したがって、自然数 \(b\) を用いて、

\(\sqrt{4a^2+21}=b\) \(\iff\) \(4a^2+21=b^2\) を満たす必要がある

※ ここで求めることができる答えは、あくまでも必要最低限の条件を満たすだけであり、その時にしっかりと自然数になるかどうかの確認(十分性の確認)が必要です!

参考

本問では判別式で条件を絞ることに失敗したが、判別式を使うことで条件を絞れる問題もあります。そのタイプの問題演習は「【整数問題】整数方程式(積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係)

解答

\(x^2-x-(a^2+5)=0\) より

\(x=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{4a^2+21}}{2}\) ・・・①

①が自然数の解となるためには、自然数 \(b\) を用いて

\(\sqrt{4a^2+21}=b\) \(\iff\) \(4a^2+21=b^2\)

\(b^2-4a^2=21\) であるから

\((b+2a)(b-2a)=21\)

\(a\)、\(b\) は自然数より、\(2a+b>0\) かつ \(2a+b>2a-b\) なので

\(( b+2a , b-2a ) = ( 7 , 3 ) , ( 21 , 1 ) \)

\(( a , b ) = ( 1 , 5 ) , ( 5 , 11 )\)

 

逆にこのとき、

(ア)\(a=1\) のとき

①より \(x = 2 , -3\)

(イ)\(a=5\) のとき

①より \(x = 5 , -6\)

 

したがって、与式をみたす自然数 \(a\)、\(x\) は

\(( a , x ) = ( 1 , 2 ) , ( 5 , 5 )\)

 

【整数問題】整数方程式(積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係)解法まとめ
定期考査から大学受験まででよく出題される頻出テーマである整数方程式。積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係など、様々なアプローチを1つ1つ考え方・見分け方を大切にしながら解説。共通テスト・2次試験整数問題対策。
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