【2010京都教育大学】
\(a\)、\(x\) を自然数とする．
\(x^2+x-(a^2+5)=0\) をみたす \(a\)、\(x\) の組を全て求めよ．
整数問題のPoint
まず整数問題すべてに共通して言えるPointは
- 積の形に変形
- 条件から範囲を絞る
- 倍数や余りに注目
整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。
この３つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください！
必要性で考えて、十分性の確認
本問は \(2\) 次方程式であること、『整数解をもつ ⇒ 実数解をもつ』と考えることができるので、
判別式 \(D≧0\) で値の絞り込みは出来ないかと考えてみる
\(x^2+x-(a^2+5)=0\) の判別式を \(D\) とすると、
\(D=1^2+4(a^2+5)=4a^2+21>0\) となり、常に実数解を持つことはわかったが、残念ながら範囲は絞れていないため、判別式を使うだけでは失敗！
\(x=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{4a^2+21}}{2}\) ・・・①
①が自然数となるためには、\(\sqrt{4a^2+21}\) が整数となる必要がある
したがって、自然数 \(b\) を用いて、
\(\sqrt{4a^2+21}=b\) \(\iff\) \(4a^2+21=b^2\) を満たす必要がある
解答
\(x^2+x-(a^2+5)=0\) より
\(x=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{4a^2+21}}{2}\) ・・・①
①が自然数の解となるためには、自然数 \(b\) を用いて
\(\sqrt{4a^2+21}=b\) \(\iff\) \(4a^2+21=b^2\)
\(b^2-4a^2=21\) であるから
\((b+2a)(b-2a)=21\)
\(a\)、\(b\) は自然数より、\(2a+b>0\) かつ \(2a+b>2a-b\) なので
\(( b+2a , b-2a ) = ( 7 , 3 ) , ( 21 , 1 ) \)
\(( a , b ) = ( 1 , 5 ) , ( 5 , 11 )\)
逆にこのとき、
（ア）\(a=1\) のとき
①より \(x = 2 , -3\)
（イ）\(a=5\) のとき
①より \(x = 5 , -6\)
したがって、与式をみたす自然数 \(a\)、\(x\) は
\(( a , x ) = ( 1 , 2 ) , ( 5 , 5 )\)
コメント
xの係数-1じゃなくて1じゃないですか？
コメントありがとうございます。
間違えていました。大変申し訳ありません。
変更しました。ご指摘ありがとうございます。