【2022数学ⅠA】第１問[１](数と式)

(１)問題と解答・解説《ア〜エ》

対称式

・\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\)

・\(x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\)

\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\) より①，②を代入して

\(13=1^2-2(ab+bc+ca)\)

よって，\(ab+bc+ca=-6\) ・・・《アイ》

また，

\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\) であり

②と《アイ》より

\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2\times 13-2\times (-6)=\)\(38\) ・・・《ウエ》

\(a-b=2\sqrt{5}\) のとき

\(b-c=x\) , \(c-a=y\) とおくと

\(x+y=(b-c)+(c-a)=-(a-b)\) より

\(x+y=-2\sqrt{5}\) ・・・《オカ》

また(１)の計算から

\(x^2+y^2=(b-c)^2+(c-a)^2=38-(a-b)^2\) であるから

\(x^2+y^2=38-(2\sqrt{5})^2=\)\(18\) ・・・《キク》

また，\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\) より

\(18=(-2\sqrt{5})^2-2xy\)

\(\iff\) \(xy=1\)

したがって，

\((a-b)(b-c)(c-a)=2\sqrt{5}xy=\)\(2\sqrt{5}\) ・・・《ケ》