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【2022共通テスト】数学ⅠA:第1問[1](数と式)|対称式の計算問題

数学(大学入試問題)

【2022数学ⅠA】第1問[1](数と式)

(1)問題と解答・解説《ア〜エ》

(1)解答・解説《ア〜エ》

対称式

・\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\)

・\(x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\) 

\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\) より①,②を代入して

\(13=1^2-2(ab+bc+ca)\)

よって,\(ab+bc+ca=-6\) ・・・《アイ》

また,

\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)\) であり

②と《アイ》より

\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2\times 13-2\times (-6)=\)\(38\) ・・・《ウエ》

(2)問題と解答・解説《オ〜ケ》

(2)解答・解説《オ〜ケ》

\(a-b=2\sqrt{5}\) のとき

\(b-c=x\) , \(c-a=y\) とおくと

\(x+y=(b-c)+(c-a)=-(a-b)\) より

\(x+y=-2\sqrt{5}\) ・・・《オカ》

また(1)の計算から

\(x^2+y^2=(b-c)^2+(c-a)^2=38-(a-b)^2\) であるから

\(x^2+y^2=38-(2\sqrt{5})^2=\)\(18\) ・・・《キク》

また,\(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\) より

\(18=(-2\sqrt{5})^2-2xy\)

\(\iff\) \(xy=1\)

したがって,

\((a-b)(b-c)(c-a)=2\sqrt{5}xy=\)\(2\sqrt{5}\) ・・・《ケ》

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