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【2023秋田大学】剰余類、素数、整数問題

場合の数・確率

【2023秋田大学】

\(1\) から \(9\) までの番号が \(1\) つずつ書かれた \(9\) 枚のカードが箱に入っている.箱から同時に \(2\) 枚のカードを取り出し,取り出した \(2\) 枚のカードの番号の和を \(S\) とする.次の問いに答えなさい.

(ⅰ) \(S\) が \(3\) の倍数になる確率を求めなさい.

(ⅱ) \(S\) が素数になる確率を求めなさい.

(ⅲ) \(\sqrt{S^2+36}\) が整数になる確率を求めなさい.

解答・解説

(ⅰ) \(S\) が \(3\) の倍数になる確率

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\(1\) から \(9\) までの番号が付いたカードを,次の \(3\) つのグループ \(A\),\(B\),\(C\) に分ける.

\(A\)・・・\(1\),\(4\),\(7\) ( \(3\) で割ると余りが \(1\) )

\(B\)・・・\(2\),\(5\),\(8\) ( \(3\) で割ると余りが \(2\) )

\(C\)・・・\(3\),\(6\),\(9\) ( \(3\) で割ると余りが \(0\) )

このとき,\(S\) が \(3\) の倍数となるのは,

(ア) \(A\),\(B\) から \(1\) 枚ずつ

(イ) \(C\) から \(2\) 枚

のいずれかである.

(ア)のとき

\(\displaystyle\frac{_{3}C_{1}\times _{3}C_{1}}{_{9}C_{2}}=\displaystyle\frac{1}{4}\)

(イ)のとき

\(\displaystyle\frac{_{3}C_{2}}{_{9}C_{2}}=\displaystyle\frac{1}{12}\)

よって,\(\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{12}=\displaystyle\frac{1}{3}\)

 

(ⅱ) \(S\) が素数になる確率

\(3≦S≦17\) より \(S\) が素数となるのは

\(S=3,5,7,11,13,17\) のいずれか

 

・\(S=3\) のとき \((1,2)\) の \(1\) 通り

・\(S=5\) のとき \((1,4),(2,3)\) の \(2\) 通り

・\(S=7\) のとき \((1,6),(2,5),(3,4)\) の \(3\) 通り

・\(S=11\) のとき \((2,9),(3,8),(4,7),(5,6)\) の \(4\) 通り

・\(S=13\) のとき \((4,9),(5,8),(6,7)\) の \(3\) 通り

・\(S=17\) のとき \((8,9)\) の \(1\) 通り

したがって求める確率は

\(\displaystyle\frac{1+2+3+4+3+1}{_{9}C_{2}}=\displaystyle\frac{7}{18}\)

(ⅲ) \(\sqrt{S^2+36}\) が整数になる確率

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\(k\) を正の整数とする.

\(\sqrt{S^2+36}=k\)

\(S^2+36=k^2\) \(\iff\) \((k+S)(k-S)=36\)

 

\(k\) ,\(S\) は正の整数より \(k+S>k-S\)

また \((k+S)+(k-S)=2k\) ( 偶数 ) となるので

\(k+S\) と \(k-S\) の偶奇は一致する

これらに注目すると,\((k+S,k-S)=(18,2)\) のみ

よって,\((k,S)=(10,8)\)

\(S=8\) となるのは \((1,7),(2,6),(3,5)\) の \(3\) 通り

したがって求める確率は

\(\displaystyle\frac{3}{_{9}C_{2}}=\displaystyle\frac{1}{12}\)

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